作者museangel (敲敲)
看板Math
标题[线代] adjoint证明
时间Fri Sep 10 11:42:11 2021
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请问在证明中，为什麽要在g(x)之外再定义一个h(x)呢？
得出g=h又代表什麽呢？
我猜是证出「有存在於V的y，使得对於所有存在於V的x，g(x)=<x,y>皆成立」吧，
但为什麽呢？
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1F：推 Vulpix : h不是必要的，你可以把课本上的h去掉重新改写看看。 09/10 12:05
2F：→ Vulpix : 看你觉得有h在会比较好整理(排版或脉络两者都可以考 09/10 12:06
3F：→ Vulpix : 虑看看)，或是h不在的情况比较方便。 09/10 12:07
4F：→ museangel : 我看庄重老师的课，是纯用g(x)证出，还蛮直观好理解 09/10 12:13
5F：→ museangel : 书上另设h(x)的证法就不懂了... 09/10 12:14
6F：推 arrenwu : 我看起来是因为他先强调 h 是个线性变换，然後引了 09/10 12:33
7F：→ arrenwu : Theorem 2.6 这个只有对线性变换成立的定理 09/10 12:33
请问我原本的猜测是不是错误的呢？
因为使所有在V的x满足g(x)=<x,y>的y，在证明第2行就出现了，
即y=Σg(vi)vi 注：g(vi)上面的bar打不出来，
但这样一来，g=h又是要证什麽？
是在说给定y，於V的任意x皆满足<x,y>的函数，是唯一的吗？没有其他函数会符合？
如果是的话，这怎麽好像在定理的描述中没有出现？
因为它是在说函数唯一，不是在说y唯一，
定理描述的「存在y」在第一、二行证出；「唯一的y」在倒数第一、二行证出，
好像该证的部分都证完了，不知道证存在唯一的函数是在证哪个部分？
※ 编辑: museangel (111.251.34.178 台湾), 09/10/2021 14:01:35
8F：推 arrenwu : 我们换个角度好了：如果是你，你会怎麽书写这个 09/10 17:19
9F：→ arrenwu : Theorem 6.8 数学证明？ 09/10 17:20
10F：→ arrenwu : 说不定你写出来，跟他的写法一样啊 09/10 17:20
书上的证明一开始就让y =Σg￣(Vi)Vi (g￣(Vi)代表g(Vi)加bar)，
我觉得有两种状况：
1.作者觉得前面证明太简单就忽略直接跳到这步骤？
前面被省略的步骤，如果我来证，就会是g(x)=g(ΣAiVi)=g(Σ<x,Vi>Vi)
=Σ<x,Vi>g(Vi)=<x,Σg￣(Vi)Vi>，令y=Σg￣(Vi)Vi，
证出确实有y可使所有x满足g(x)=<x,y>，
也就是作者一开始出发的地方。
但从这角度来看，会让我困惑作者後来另设h(x)=<x,y>，证出g=h，要做什麽？
怎麽不在证出y存在後，直接接着证y的唯一性就好呢？
2.作者直接用定理的结论？
作者直接把待证的g(x) =<x,y>搬来用，即假定有y满足使所有x能让g(x)=<x,y>成立，
所以g￣(x)=<y,x>，
y=ΣAiVi=Σ<y,Vi>Vi=Σg￣(Vi)Vi，即作者一开始出发的地方。
然後另外设h(x)=<x,y>，将y用Σg￣(Vi)Vi代换等等过程，最後得出g=h，
但证出g=h是在说明有y满足使所有x能让g(x)=<x,y>的假定成立吗？
感觉又找不出两者的关联…
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如果是我来证明，会用1的方式(扣除另设h(x)一直到h=g的部分)，
应该跟书上的写法不一样，
所以想了解是不是我只证y存在跟y唯一会漏证什麽定理有描述到的东西，
就算没有漏证，也会想知道作者写的内容是什麽…
※ 编辑: museangel (111.251.34.178 台湾), 09/10/2021 19:17:06
11F：推 arrenwu : 你上面那个1.的写法并不是一个证明过程吧 09/10 19:13
12F：→ arrenwu : 你第一步想做的证明是"令y=Σg￣(Vi)Vi, 对於任意在 09/10 19:15
13F：→ arrenwu : V里面的向量x，g(x) = <x,y>" 09/10 19:17
14F：→ arrenwu : 现在你已经定义出一个y，接着就是证明"对於任意x， 09/10 19:18
15F：→ arrenwu : g(x) = <x,y> " 你打算怎麽说明呢？ 09/10 19:18
但我不懂怎麽知道要把y定义成这样子？
因为感觉y=Σg￣(Vi)Vi不太直观，应该是从什麽推出来再定义的？
是像前面说的2.用定理结论来直接定义的吗？还是像1.省略了什麽步骤？
如果已定义y=Σg￣(Vi)Vi，我不需要去管y这定义怎麽来的话，
要我证明「对於任意x， g(x) = <x,y>」，则：
因已定义y=Σg￣(Vi)Vi，所以我的目标希望最後能得出g(x)=<x,Σg￣(Vi)Vi>
因x属於V，用V的orthonormal basis来写可写成Σ<x,Vi>Vi，
所以g(x)=g(Σ<x,Vi>Vi)=Σ<x,Vi>g(Vi)=<x,Σg￣(Vi)Vi>=<x,y>
所以得证。
而且也依然没有另外定义h，不知道h要做什麽...
※ 编辑: museangel (111.251.34.178 台湾), 09/10/2021 20:47:52
16F：推 arrenwu : 先定义y是因为你要证明存在一个y满足需求 09/11 01:12
17F：→ arrenwu : 你的证明没有问题。只不过我不太确定 x =Σ<x,Vi>Vi 09/11 01:14
18F：→ arrenwu : 在那本书里面是不是一个定理 09/11 01:14
19F：→ arrenwu : 如果是的话可能要引。 09/11 01:15
20F：推 Vulpix : 就算要证也只是一行解决的东西吧，毕竟是basis。 09/11 04:01
21F：推 Vulpix : h的意义是名字。取名只是为了方便，这个证明很短而 09/11 04:33
22F：→ Vulpix : 且h出现的次数太少，加上h的定义式也太短，所以h的 09/11 04:34
23F：→ Vulpix : 必要程度很低。可是有些东西你不取个名字，写起来会 09/11 04:35
24F：→ Vulpix : 相当疯狂。另外一个用途就是整理版面，天书是书，不 09/11 04:36
25F：→ Vulpix : 像板书是一个字一个字写出来可以让你跟着老师的思绪 09/11 04:37
26F：→ Vulpix : 走。有些时候书上写的东西看起来很跳跃，所以才定义 09/11 04:38
27F：→ Vulpix : 一个名字给他。 09/11 04:39
28F：推 eikcaj102 : 因为要证唯一 09/11 11:22
29F：推 Vulpix : 唯一性是挑x=y-y'用positivity证的。 09/11 12:14
重新整理一下我的想法，理解上还是有一些矛盾：
{{{定义一个h(x)=<x,y>，
h(x)一开始就长成<x,y>的样子，不像g(x)是不是能写成<x,y>都还不确定，
即g(x)可写成<x,y>是待证的，
设y=Σg￣(Vi)Vi，
h(Vj)=<Vj,y>=<Vj,Σg￣(Vi)Vi>=Σg￣(Vi)<Vj,Vi>=g(Vj)
1<=j<=n，所以h=g，g(x)=h(x)=<x,y>，因此g可以写成<x,y>的形式。}}}---@0式
原本我以为我只对h理解有困难，
但我发现理解有困难的部分不单纯是在另设h，还包括y用了什麽来定义，
因为「设y=Σg￣(Vi)Vi」---@1式
跟「不知道g(x)是不是能写成<x,y>」---@2式
@1式跟@2式之间好像概念上有冲突？
如果我没理解错的话，@1式会这麽定义，是因为认定g(x)本来就可以写成<x,y>的形式，
即：透过基於这个认定的一连串推导，才定义出@1式
(推导内容：y在V中所以可用orthonomal basis写成Σ<y,Vi>Vi，
而因认定g(x)=<x,y>，故g￣(x)=<y,x>，
因此y=Σg￣(Vi)Vi，即导出y的定义)
@1式的认定就跟@2式冲突，一个是可以写成<x,y>形式，一个是不知能否写成<x,y>形式，
这个冲突就造成既然@1知道y可以让g(x)就写成<x,y>的形式，
那把@1式跟@2式的概念通通塞进@0式，
「g(x)本来就可以写成<x,y>，所以写出设y=Σg￣(Vi)Vi的式子」
「h(x)一开始就长成<x,y>的样子，不像g(x)是不是能写成<x,y>都还不确定，
即g(x)可写成<x,y>是待证的」
变成「把待证的概念当作已知事实，去证待证概念自己是对的」这种循环论证的状况。
我不知道我是哪里理解出错了，变成把@1式跟@2式塞进@0式，会有这麽奇怪的问题。
※ 编辑: museangel (111.251.22.20 台湾), 09/11/2021 12:20:35
30F：推 Vulpix : 「@1的『推导』不要写出来！」你这段要写的话，箭 09/11 12:42
31F：→ Vulpix : 头都是反过来的。那就只是推@2的过程。打破循环的 09/11 12:42
32F：→ Vulpix : 方法之一就是封杀其中一个方向，单行道是不会循环 09/11 12:42
33F：→ Vulpix : 的。 09/11 12:42
34F：→ Vulpix : 最後，不要站内信，我不会回的。 09/11 12:42
好XD
谢谢V大跟a大，
V大说的封杀一个方向让我获益良多，
我有时候会在「定义看起来有点复杂，不那麽直观，想更清楚看懂它在说什麽」的时候，
回头推导它的起点，然後就跟结论撞在一起，
想说「绕了一圈，我的假设怎麽变成结论了」，那我证出什麽东西呀？
今天知道了，以後会避免这种情况XD
※ 编辑: museangel (111.251.22.20 台湾), 09/11/2021 13:41:14