我又仔細想過，整理如下： 以D代表微分算子d/dx，I=identity 考慮形如L=L(x,D) = g_n(x)D^n + g_(n-1)(x)D^(n-1)+... g_1(x)D+g_0(x)I的微分算子。 欲解方程 Ly=f 之特解，令 L^-1 (f) = {y | 所有Ly=f之解 }。 首先注意到，只要L不要太差，ODE的存在性定理可以保證 Ly=f 至少在局部是有解的。 另一方面Ly=0一定有解，因為L0=0，但通常還會有其他解，也就是平常解ODE時稱的齊性解 部分 ker L = L^-1(0) 只要L不要太差，ODE的存在及唯一性定理也保證 ker L是有限維空間，維度為n。 1.不會錯的情形 設V為有限維空間，使得L:V->V (也就是對於L有封閉性)，且在V上，L為injective 由基本的線性代數知道 L:V->V 同時還是surjective，這個反函數 L^-1 還可以表成L的多項式。 所以只要所有涉及的微分算子都和L可交換，那跟L^-1的運算基本上怎麼算都會對。 這個實際的例子就是 V是特定多像式*指數函數、多項式*三角函數的線性組合 L是常係數，且V裡面都不是L的齊性解。 當然先決條件是在算L^-1 f的時候，要取那個唯一V裡的元素。 也就是算 D^-1 exp x 固定要取 exp x 不能故意取 exp x + 1之類的... 2. 一般的情形 容易驗證 a. 若 L=L1L2，則 L^-1 = L2^-1 L1^-1 因此有 a'.若 L1L2= L2L1 則 L2^-1 L1^-1 = L1^-1 L2^-1 可見對於兩個可交換的算子，他們的逆運算子也可以交換，這點沒有問題。 但是，L2 L1^-1 f 和 L1^-1 L2 f 卻未必相等。 容易驗證 b. L2 L1^-1 f <= L1^-1 L2 f (<=表示包含於) 所以我們只要考慮 f=0的情形 左邊是 L2 ( ker L1) ，右邊是 ker L1 所以"="成立 <=> L2(ker L1)=ker L1 <=> L2: ker L1-> ker L1 is surj. (L1L2=L2L1自然可以限制於ker) <=> L2: ker L1-> ker L1 is inj (ker L1有限維) <=> ker L2 交集 ker L1 = 0 故有b' 若又有ker L1交集L2=0 則 L2 L1^-1 = L1^-1 L2 這在常係數的情形就是L1,L2視為D之多項式互質。 換句話說，只要「分子」、「分母」互質，那麼分數不必特別在意順序。 如果把L1, L2進行質因式分解，要計算 L2L1^-1 或L1L2^-1就只要考慮prime power 設P為不可約多項式，則L1=P^u, L2=P^v 則 L1L2^-1 = P^u P^-v = P^(u-v) (注意到 LL^-1=I是恆等，所以這個沒問題) L2^-1 L1 = P^-v P^u = P^(u-v) + ker P^v 會多出一項齊性解空間。 實務解方程中，其實我們並不在意答案差了某個W=ker L裡的元素，如果在quotient W下 考慮，如果出現多餘項ker P^v 都在 ker L裡面，那其實也可不管。 3. 回到原題目欲計算 L^-1 f，其中 L(D)=D^3 - 3D + 2I = (D-I)^2(D-2I) f=x exp x 上一篇已經講過若令g=exp x而使用 L^-1 xg = x L^-1 g + L^-1 L' L^-1 g這個公式 必須要兩項的L^-1 g都取一樣才可以。 所以我們參照Vulpix 在 #1X3H7Xj3的解法 先求出 L^-1 g = h = (1/6) x^2 exp x 之後，直接代入 (Remark：其實很合理，第二項雖然看似有很多機會耍花樣，但是第一項只單純乘以x應該 是沒有，終究是要乖乖算L^-1 g) 那如果用前面分析的 第二項 = L^-1 L' h = (D-I)^-2 (D-2I)^-1 (3(D-I)(D+I)) h = 3 (D-I)^-2 (D-I) (D-2I)^-1 (D+I) h = 3 (D-I)^-1 (D-2I)^-1 {(D+I)h} + ker (D-I)^2 最後這項在ker L裡可不管。 表面上要算逆運算的階數變少了，但是{}算完之後 x^2 exp x項還在，比本來x exp x還 多了一個x。 雖然是對的，但也不知道這樣到底有沒有化簡到。 而Vulpix的作法 第二項 = L^-1 L'(x^2*e^x)/6 = L^-1 [(2x+1)e^x] (直接算，不去想那些交換約分的事情) = 2L^-1 (xe^x) + (x^2*e^x)/2 (結果得到和題目一樣的東西) 故 L^-1 f = (x^3*e^x)/6 - ( 2L^-1 f + (x^2*e^x)/6 ) L^-1 f = (D^3-3D+2)^-1 (xe^x) = (x^3*e^x)/18 - (x^2*e^x)/18 (最後用移項解決問題) 可以看到，之所以能夠產生和題目一樣的項，就是因為沒有另外處理。 可見，前面的討論在這題正解派不上用場。 1. 不過倒可以解釋本題錯解錯的地方。 2. 還有為什麼很多情形這個方法會對。 -- r=e^theta 即使有改變，我始終如一。 --

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