我又仔细想过，整理如下： 以D代表微分算子d/dx，I=identity 考虑形如L=L(x,D) = g_n(x)D^n + g_(n-1)(x)D^(n-1)+... g_1(x)D+g_0(x)I的微分算子。 欲解方程 Ly=f 之特解，令 L^-1 (f) = {y | 所有Ly=f之解 }。 首先注意到，只要L不要太差，ODE的存在性定理可以保证 Ly=f 至少在局部是有解的。 另一方面Ly=0一定有解，因为L0=0，但通常还会有其他解，也就是平常解ODE时称的齐性解 部分 ker L = L^-1(0) 只要L不要太差，ODE的存在及唯一性定理也保证 ker L是有限维空间，维度为n。 1.不会错的情形 设V为有限维空间，使得L:V->V (也就是对於L有封闭性)，且在V上，L为injective 由基本的线性代数知道 L:V->V 同时还是surjective，这个反函数 L^-1 还可以表成L的多项式。 所以只要所有涉及的微分算子都和L可交换，那跟L^-1的运算基本上怎麽算都会对。 这个实际的例子就是 V是特定多像式*指数函数、多项式*三角函数的线性组合 L是常系数，且V里面都不是L的齐性解。 当然先决条件是在算L^-1 f的时候，要取那个唯一V里的元素。 也就是算 D^-1 exp x 固定要取 exp x 不能故意取 exp x + 1之类的... 2. 一般的情形 容易验证 a. 若 L=L1L2，则 L^-1 = L2^-1 L1^-1 因此有 a'.若 L1L2= L2L1 则 L2^-1 L1^-1 = L1^-1 L2^-1 可见对於两个可交换的算子，他们的逆运算子也可以交换，这点没有问题。 但是，L2 L1^-1 f 和 L1^-1 L2 f 却未必相等。 容易验证 b. L2 L1^-1 f <= L1^-1 L2 f (<=表示包含於) 所以我们只要考虑 f=0的情形 左边是 L2 ( ker L1) ，右边是 ker L1 所以"="成立 <=> L2(ker L1)=ker L1 <=> L2: ker L1-> ker L1 is surj. (L1L2=L2L1自然可以限制於ker) <=> L2: ker L1-> ker L1 is inj (ker L1有限维) <=> ker L2 交集 ker L1 = 0 故有b' 若又有ker L1交集L2=0 则 L2 L1^-1 = L1^-1 L2 这在常系数的情形就是L1,L2视为D之多项式互质。 换句话说，只要「分子」、「分母」互质，那麽分数不必特别在意顺序。 如果把L1, L2进行质因式分解，要计算 L2L1^-1 或L1L2^-1就只要考虑prime power 设P为不可约多项式，则L1=P^u, L2=P^v 则 L1L2^-1 = P^u P^-v = P^(u-v) (注意到 LL^-1=I是恒等，所以这个没问题) L2^-1 L1 = P^-v P^u = P^(u-v) + ker P^v 会多出一项齐性解空间。 实务解方程中，其实我们并不在意答案差了某个W=ker L里的元素，如果在quotient W下 考虑，如果出现多余项ker P^v 都在 ker L里面，那其实也可不管。 3. 回到原题目欲计算 L^-1 f，其中 L(D)=D^3 - 3D + 2I = (D-I)^2(D-2I) f=x exp x 上一篇已经讲过若令g=exp x而使用 L^-1 xg = x L^-1 g + L^-1 L' L^-1 g这个公式 必须要两项的L^-1 g都取一样才可以。 所以我们参照Vulpix 在 #1X3H7Xj3的解法 先求出 L^-1 g = h = (1/6) x^2 exp x 之後，直接代入 (Remark：其实很合理，第二项虽然看似有很多机会耍花样，但是第一项只单纯乘以x应该 是没有，终究是要乖乖算L^-1 g) 那如果用前面分析的 第二项 = L^-1 L' h = (D-I)^-2 (D-2I)^-1 (3(D-I)(D+I)) h = 3 (D-I)^-2 (D-I) (D-2I)^-1 (D+I) h = 3 (D-I)^-1 (D-2I)^-1 {(D+I)h} + ker (D-I)^2 最後这项在ker L里可不管。 表面上要算逆运算的阶数变少了，但是{}算完之後 x^2 exp x项还在，比本来x exp x还 多了一个x。 虽然是对的，但也不知道这样到底有没有化简到。 而Vulpix的作法 第二项 = L^-1 L'(x^2*e^x)/6 = L^-1 [(2x+1)e^x] (直接算，不去想那些交换约分的事情) = 2L^-1 (xe^x) + (x^2*e^x)/2 (结果得到和题目一样的东西) 故 L^-1 f = (x^3*e^x)/6 - ( 2L^-1 f + (x^2*e^x)/6 ) L^-1 f = (D^3-3D+2)^-1 (xe^x) = (x^3*e^x)/18 - (x^2*e^x)/18 (最後用移项解决问题) 可以看到，之所以能够产生和题目一样的项，就是因为没有另外处理。 可见，前面的讨论在这题正解派不上用场。 1. 不过倒可以解释本题错解错的地方。 2. 还有为什麽很多情形这个方法会对。 -- r=e^theta 即使有改变，我始终如一。 --

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