作者pmove (伊之助 = 一隻豬 =幾家滴)
看板Math
標題[幾何] 直角三角形的性質
時間Mon Aug 9 17:21:50 2021
直角三角形，一定有一個角度是無理數的度數，要不然一定有一個邊長是無理數。是不是這樣？試證或反證，如果證明不難的話，也方便提供，謝謝。
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1F：→ Ricestone : 三角形中有理角只有0度跟45度跟90度有有理正弦值 08/09 17:42
2F：→ Ricestone : 另外也只有0度跟90度有有理正切值 08/09 17:43
3F：→ Ricestone : *是0度30度跟90度 08/09 17:46
4F：→ Ricestone : 有有理正弦， 正切是0度跟45度 08/09 17:47
5F：→ Ricestone : 因為是有理角θ，所以存在m,n使得mθ=nπ 08/09 17:50
6F：→ pmove : 我指的是不是正弦值，而是三個邊長其一或者三個角度 08/09 17:51
7F：→ pmove : 其一（2度是有理度數，但是根號2度就不是有理度數） 08/09 17:51
8F：→ pmove : ，例如邊長是3, 4, 5的三角形，三邊長有理，但是角 08/09 17:51
9F：→ pmove : 度並非90, 53, 37而是90, 53.1…, 36.8…據說也是無 08/09 17:51
10F：→ pmove : 理角度 08/09 17:51
11F：→ Ricestone : 然後用棣美弗跟有理根判別法找怎樣會有有理根 08/09 17:52
12F：→ Ricestone : 正弦值就是邊長比 08/09 17:52
13F：→ Ricestone : 邊長比如果有無理數，函數值就會是無理數 08/09 17:53
14F：推 zhanguihan : it is hard to prove if the angle is expressed as 08/09 17:53
15F：→ zhanguihan : degree. However, once the angle is expressed as 08/09 17:53
16F：→ Ricestone : 所以只有正切跟正弦值都同時為有理數的角度才符合 08/09 17:53
17F：→ zhanguihan : radian, it can be provable. 08/09 17:53
18F：→ Ricestone : 不用弧度 08/09 17:54
19F：→ Ricestone : 我記得有在數學傳播看過 08/09 17:55
21F：→ pmove : 0度因爲直角三角形劃不出來，先不算，但是45度的90, 08/09 18:08
22F：→ pmove : 45, 45度數的三角形，正弦值是（根號2）/2，正弦值 08/09 18:08
23F：→ pmove : 是無理數啊，所以不是反例 08/09 18:08
24F：→ Ricestone : 我下面有訂正是30度啊 08/09 18:10
25F：→ Ricestone : 問題是正切只有45度是有理，所以除了0度之外沒有 08/09 18:11
26F：→ Ricestone : 兩個值同時是有理數的度數 i.e.沒有這種三角形 08/09 18:12
27F：推 zhanguihan : I got it. Originally, my approach is using the f 08/09 18:20
28F：→ zhanguihan : act that tan(x) is irrational when x is rational 08/09 18:20
29F：→ zhanguihan : to arrive the contradiction. That is why I insi 08/09 18:20
30F：→ zhanguihan : st on the radian expression. 08/09 18:20
31F：→ Ricestone : 其實我印象中就是有這樣一個題目，先出弧度再出角度 08/09 18:21
32F：→ Ricestone : 弧度比較簡單，角度就要靠這個有理根判定法 08/09 18:22
33F：→ Ricestone : 不過我忘了是什麼競賽題還是哪個資優班之類的題目了 08/09 18:22
34F：→ pmove : 如果我沒誤解Rice大的意思，這個題目的猜想應該是成 08/09 18:32
35F：→ pmove : 立的（0度角除外） 08/09 18:32
36F：→ Ricestone : 就不存在兩組數值全都有理數的直角三角形 08/09 18:36
37F：→ pmove : 我題目沒有寫好，應該不要用邊長，而要說排除0度和9 08/09 18:47
38F：→ pmove : 0度的正弦跟正切值其中有一個是無理數，要不然三個 08/09 18:47
39F：→ pmove : 角，其中有一個是無理角度 08/09 18:47
40F：→ Ricestone : 那沒差，就同樣意思而已 08/09 18:48
41F：推 Vulpix : 整數度數好做，也才45個，有理數度數比較搞剛吧。 08/09 19:35
42F：→ Vulpix : 不過這個作法應該可以快一點：直角三角形三邊長如果 08/09 19:37
43F：→ Vulpix : 都是正整數，那比例一定是 (1-p^2):2p:(1+p^2)。其 08/09 19:38
44F：→ Vulpix : 中一角(不妨稱為2α)的正切值tan2α=2p/(1-p^2)， 08/09 19:39
45F：→ Vulpix : 所以tanα=p。剛剛忘了說p是正有理數。所以這個問題 08/09 19:40
46F：→ Vulpix : 等同於問 y=tan(x°) 上的有理點。 08/09 19:41
47F：→ Vulpix : 其中 x°是銳角的半角，所以 0<x<45。 08/09 19:42