作者pmove (伊之助 = 一只猪 =几家滴)
看板Math
标题[几何] 直角三角形的性质
时间Mon Aug 9 17:21:50 2021
直角三角形，一定有一个角度是无理数的度数，要不然一定有一个边长是无理数。是不是这样？试证或反证，如果证明不难的话，也方便提供，谢谢。
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1F：→ Ricestone : 三角形中有理角只有0度跟45度跟90度有有理正弦值 08/09 17:42
2F：→ Ricestone : 另外也只有0度跟90度有有理正切值 08/09 17:43
3F：→ Ricestone : *是0度30度跟90度 08/09 17:46
4F：→ Ricestone : 有有理正弦， 正切是0度跟45度 08/09 17:47
5F：→ Ricestone : 因为是有理角θ，所以存在m,n使得mθ=nπ 08/09 17:50
6F：→ pmove : 我指的是不是正弦值，而是三个边长其一或者三个角度 08/09 17:51
7F：→ pmove : 其一（2度是有理度数，但是根号2度就不是有理度数） 08/09 17:51
8F：→ pmove : ，例如边长是3, 4, 5的三角形，三边长有理，但是角 08/09 17:51
9F：→ pmove : 度并非90, 53, 37而是90, 53.1…, 36.8…据说也是无 08/09 17:51
10F：→ pmove : 理角度 08/09 17:51
11F：→ Ricestone : 然後用棣美弗跟有理根判别法找怎样会有有理根 08/09 17:52
12F：→ Ricestone : 正弦值就是边长比 08/09 17:52
13F：→ Ricestone : 边长比如果有无理数，函数值就会是无理数 08/09 17:53
14F：推 zhanguihan : it is hard to prove if the angle is expressed as 08/09 17:53
15F：→ zhanguihan : degree. However, once the angle is expressed as 08/09 17:53
16F：→ Ricestone : 所以只有正切跟正弦值都同时为有理数的角度才符合 08/09 17:53
17F：→ zhanguihan : radian, it can be provable. 08/09 17:53
18F：→ Ricestone : 不用弧度 08/09 17:54
19F：→ Ricestone : 我记得有在数学传播看过 08/09 17:55
21F：→ pmove : 0度因爲直角三角形划不出来，先不算，但是45度的90, 08/09 18:08
22F：→ pmove : 45, 45度数的三角形，正弦值是（根号2）/2，正弦值 08/09 18:08
23F：→ pmove : 是无理数啊，所以不是反例 08/09 18:08
24F：→ Ricestone : 我下面有订正是30度啊 08/09 18:10
25F：→ Ricestone : 问题是正切只有45度是有理，所以除了0度之外没有 08/09 18:11
26F：→ Ricestone : 两个值同时是有理数的度数 i.e.没有这种三角形 08/09 18:12
27F：推 zhanguihan : I got it. Originally, my approach is using the f 08/09 18:20
28F：→ zhanguihan : act that tan(x) is irrational when x is rational 08/09 18:20
29F：→ zhanguihan : to arrive the contradiction. That is why I insi 08/09 18:20
30F：→ zhanguihan : st on the radian expression. 08/09 18:20
31F：→ Ricestone : 其实我印象中就是有这样一个题目，先出弧度再出角度 08/09 18:21
32F：→ Ricestone : 弧度比较简单，角度就要靠这个有理根判定法 08/09 18:22
33F：→ Ricestone : 不过我忘了是什麽竞赛题还是哪个资优班之类的题目了 08/09 18:22
34F：→ pmove : 如果我没误解Rice大的意思，这个题目的猜想应该是成 08/09 18:32
35F：→ pmove : 立的（0度角除外） 08/09 18:32
36F：→ Ricestone : 就不存在两组数值全都有理数的直角三角形 08/09 18:36
37F：→ pmove : 我题目没有写好，应该不要用边长，而要说排除0度和9 08/09 18:47
38F：→ pmove : 0度的正弦跟正切值其中有一个是无理数，要不然三个 08/09 18:47
39F：→ pmove : 角，其中有一个是无理角度 08/09 18:47
40F：→ Ricestone : 那没差，就同样意思而已 08/09 18:48
41F：推 Vulpix : 整数度数好做，也才45个，有理数度数比较搞刚吧。 08/09 19:35
42F：→ Vulpix : 不过这个作法应该可以快一点：直角三角形三边长如果 08/09 19:37
43F：→ Vulpix : 都是正整数，那比例一定是 (1-p^2):2p:(1+p^2)。其 08/09 19:38
44F：→ Vulpix : 中一角(不妨称为2α)的正切值tan2α=2p/(1-p^2)， 08/09 19:39
45F：→ Vulpix : 所以tanα=p。刚刚忘了说p是正有理数。所以这个问题 08/09 19:40
46F：→ Vulpix : 等同於问 y=tan(x°) 上的有理点。 08/09 19:41
47F：→ Vulpix : 其中 x°是锐角的半角，所以 0<x<45。 08/09 19:42