作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [中學] 一題期望值問題
時間Sun Jul 18 00:05:36 2021
※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: ※ 引述《yizihappyQ (Ms.Q)》之銘言：
: : https://i.imgur.com/J4qD0k0.jpg
: : 請問這題的期望值如果要用列式的話要怎麼計算呢？謝謝
: 松鼠總數量為n，其中m隻被標記。
: 那麼 Pr(捕獲c隻裡面有i隻標記) = C(m,i)C(n-m,c-i)/C(n,c) , i<= min(m,c)
: 0 , otherwise
另一個常用的算法正好就是那美好的 linearity。
我們第二次先給每隻抓到的松鼠編號 1~c，而且先不要檢查牠們身上有沒有標記。
然後定義 c 個隨機變數 S_1, S_2, ... , S_c，
S_i = 第 i 隻松鼠被標記的個體總數。
嗯……上面好像寫了一句幹話。
我翻譯一下：S_i = 1 ,當第 i 隻松鼠身上有標記
0 ,當第 i 隻松鼠身上沒有標記
然後把那 c 個隨機變數全部加起來，就是 c 隻松鼠中被標記的個體總數。
前兩個選項所問的 p 正是 Pr(S_i = 1)。
所以 E[S_i] = p*1 + (1-p)*0 = p。
最後，我們想算的其實是
E[ S_1 + S_2 + ... + S_c ]
= E[S_1] + E[S_2] + ... + E[S_c]
= p + p + ... + p
= cp
我想這個做法應該是比較接近直覺的，但是算式看起來又有那麼一點點反直覺XD
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.37.153 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1626537939.A.F83.html
1F：→ arrenwu : 我猜他就是想問硬幹怎麼做 07/18 06:11
我覺得這其實就是排列組合常用的算兩遍手法。
換個角度看問題，就會是每隻松鼠都會在期望值中留下 p 隻。
2F：→ Refauth : XD 人類天生就喜歡硬幹啊 07/18 13:15
3F：→ Refauth : 看看費馬定理，一堆數學家直接拿電腦硬幹的XDDD 07/18 13:15
※ 編輯: Vulpix (1.160.37.153 臺灣), 07/18/2021 21:28:04
4F：→ yizihappyQ : 這個好像比較好理解！感謝 07/24 10:57