作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [中学] 一题期望值问题
时间Sun Jul 18 00:05:36 2021
※ 引述《arrenwu (不是绵芽的错)》之铭言：
: ※ 引述《yizihappyQ (Ms.Q)》之铭言：
: : https://i.imgur.com/J4qD0k0.jpg
: : 请问这题的期望值如果要用列式的话要怎麽计算呢？谢谢
: 松鼠总数量为n，其中m只被标记。
: 那麽 Pr(捕获c只里面有i只标记) = C(m,i)C(n-m,c-i)/C(n,c) , i<= min(m,c)
: 0 , otherwise
另一个常用的算法正好就是那美好的 linearity。
我们第二次先给每只抓到的松鼠编号 1~c，而且先不要检查牠们身上有没有标记。
然後定义 c 个随机变数 S_1, S_2, ... , S_c，
S_i = 第 i 只松鼠被标记的个体总数。
嗯……上面好像写了一句干话。
我翻译一下：S_i = 1 ,当第 i 只松鼠身上有标记
0 ,当第 i 只松鼠身上没有标记
然後把那 c 个随机变数全部加起来，就是 c 只松鼠中被标记的个体总数。
前两个选项所问的 p 正是 Pr(S_i = 1)。
所以 E[S_i] = p*1 + (1-p)*0 = p。
最後，我们想算的其实是
E[ S_1 + S_2 + ... + S_c ]
= E[S_1] + E[S_2] + ... + E[S_c]
= p + p + ... + p
= cp
我想这个做法应该是比较接近直觉的，但是算式看起来又有那麽一点点反直觉XD
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.160.37.153 (台湾)
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1F：→ arrenwu : 我猜他就是想问硬干怎麽做 07/18 06:11
我觉得这其实就是排列组合常用的算两遍手法。
换个角度看问题，就会是每只松鼠都会在期望值中留下 p 只。
2F：→ Refauth : XD 人类天生就喜欢硬干啊 07/18 13:15
3F：→ Refauth : 看看费马定理，一堆数学家直接拿电脑硬干的XDDD 07/18 13:15
※ 编辑: Vulpix (1.160.37.153 台湾), 07/18/2021 21:28:04
4F：→ yizihappyQ : 这个好像比较好理解！感谢 07/24 10:57