※ 引述《Refauth (山丘上的長號手)》之銘言： : ※ 引述《takeyourtime (鐘點戰)》之銘言： : : 袋中3紅、7白球 : : 一次取一個不放回 : : 問： : : （1）取得第一個紅球，球數期望值___ : : （2）取得第二個紅球，球數期望值___ : : （3）紅球取完的球數期望值___ : : 11/4，11/2，33/4 : : 請前輩們指點 : 半夜想這題睡不著...QQ 看到第一題我直接想到一個奇怪的東西.... : 3/10 x 1 + : 7/10 x 3/9 x 2 + : 7/10 x 6/9 x 3/8 x 3 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 3/7 x 4 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 5 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 3/5 x 6 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 3/4 x 7 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 8 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 0 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 1/1 x 0 : =？ : ......這算完我就自爆了這什麼東西？ 如果我們定義 X 為問題 (1)中的取得第一個紅球所需要的球數 8 你等於是用 E[X] = Σ Pr(X=x) * x 在計算期望值。 x=1 Pr(R=x) = (10-x)(9-x)/240 ，所以你其實算得出closed-form solution 只是過程應該不是很舒服 不過呢，這題目問的是期望值，所以可以用 Linearity of Expectation 來處理 也就是：給定隨機變數 X,Y,Z，如果 Z = X + Y 則 E[Z] = E[X] + E[Y] (但這高中有教嗎？) 原本那篇推文下面有個滿heuristic的作法，看起來是很不賴。 但這種heuristic的作法，有一定風險。 因為每個人都會有屬於自己的直覺，但直覺並不總是對的。 這也是為什麼我覺得在我當機率助教，學生所問的古典機率問題裡面， 最難回答的就是「為什麼我這樣算會算錯？」 其實問題通常是沒有明確定義問題中的隨機變數。 這個定義不明確的時候，大家的溝通也會變得比較困難 所以我們用一個比較沒爭議的寫法 首先我把白球和紅球各自打上編號： 白球是 w_1,w_2, ... w_7 紅球是 r_1,r_2,r_3 然後我接著定義四個隨機變數 Z0,Z1,Z2,Z3 分別為 Z0 = 第一個紅球前的白球數量 Z1 = 第一和第二個紅球之間的白球數量 Z2 = 第二和第三個紅球之間的白球數量 Z3 = 第三個紅球之後的白球數量 問題(1) 則是在問 E[Z0+1] 好，定義完要怎麼算呢？ 是這樣的，如果我們定義隨機變數 I(0,j) = 1 , 如果 w_j 出現在第一顆紅球前面 0 , 其他 那麼可得到 Z0 = I(0,1) + I(0,2) + .... + I(0,7) 7 = Σ I(0,j) j=1 7 所以 E[Z0] = Σ E[I(0,j)] by linearity of expectation j=1 7 = Σ Pr(w_j 出現在第一顆紅球前面) j=1 讓我們先考慮: Pr(w_1 出現在第一顆紅球前面) = Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面) 在這10個球總共10!種排列方式中， 我們可以用 w_1, r_1, r_2, r_3 這四顆球的相對順序去區分他們。 這每一個相對順序包含的排列方式數量會是一樣多的 比如：滿足 (w_1, r_1, r_2, r_3) 相對順序的排列數量， 跟滿足 (r_1, w_1, r_2, r_3)相對順序的排列數量是一樣的 為什麼呢？ 因為任一個滿足 (w_1, r_1, r_2, r_3)相對順序的排列， 你把其中的 w_1 跟 r_1 位置交換，就會是滿足 (r_1, w_1, r_2, r_3) 。 而且這是一個 one-to-one and onto 的關係 我講了半天，想講的就是 10 顆球裡面 w_1出現在 r_1 r_2 r_3 前面的機率， 跟只有 w_1, r_1 , r_2 ,r_3 四顆球時 w_1出現在 r_1 r_2 r_3 前面的機率是一樣的 所以 Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面) = 3!/4! = 1/4 因此 E[I(0,1)] = Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面) = 1/4 然後你們很聰明，一定自己看/算得出 E[I(0,j)] = 1/4 這樣我們就能得到 E[Z0] = 7*1/4 = 7/4 而問題(1)問的是 E[Z0+1] = E[Z0] + 1 = 11/4 好，那問題(2)呢？ 其實問題(2)問的就是 E[Z0 + 1 + Z1 + 1] = E[Z0] + E[Z1] + 2 E[Z0] = 11/4 我們已經算出來了 E[Z1] 呢？ 我又要故技重施了 定義隨機變數 I(1,j) = 1 , 如果 w_j 出現在第一顆和第二顆紅球之間 0 , 其他情況 7 然後就又有 E[Z1] = Σ E[I(1,j)] j=1 7 = Σ Pr(w_j 出現在第一顆和第二顆紅球之間) j=1 大家都很聰明，多半看得出我們知需要算 Pr(w_1 出現在第一顆和第二顆紅球之間) 而且就同上面推論，會得到我們只需要看 只有 w_1, r_1, r_2, r_3 四顆球的時候， w_1 在第一顆紅球和第二顆紅球之間的機率，然後又很明顯地就是 1/4 所以 E[Z1] = 7/4 ，故問題(2)的答案是 7/4+7/4+2 = 11/2 其實現在大家應該看得出來，E[Z0] = E[Z1] = E[Z2] = E[Z3] = 7/4 當然我想很多人一定可以有各種靈感得出這結論。 我只是提供一個我覺得比較清晰的呈現方式 不過呢，有時候問題想不出來，需要點靈感。 這種時候，我滿推薦看角卷綿芽的直播 然後呢，我跟你說喔，角卷綿芽今天晚上九點會開100萬訂閱耐久歌台喔！ Link: https://youtu.be/jPribVolmYA Watame No.1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -- 鳳雛的清楚講習 https://i.imgur.com/23pfZv9.jpg https://i.imgur.com/wD6J6li.jpg --

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