※ 引述《Refauth (山丘上的长号手)》之铭言： : ※ 引述《takeyourtime (钟点战)》之铭言： : : 袋中3红、7白球 : : 一次取一个不放回 : : 问： : : （1）取得第一个红球，球数期望值___ : : （2）取得第二个红球，球数期望值___ : : （3）红球取完的球数期望值___ : : 11/4，11/2，33/4 : : 请前辈们指点 : 半夜想这题睡不着...QQ 看到第一题我直接想到一个奇怪的东西.... : 3/10 x 1 + : 7/10 x 3/9 x 2 + : 7/10 x 6/9 x 3/8 x 3 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 3/7 x 4 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 5 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 3/5 x 6 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 3/4 x 7 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 8 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 0 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 1/1 x 0 : =？ : ......这算完我就自爆了这什麽东西？ 如果我们定义 X 为问题 (1)中的取得第一个红球所需要的球数 8 你等於是用 E[X] = Σ Pr(X=x) * x 在计算期望值。 x=1 Pr(R=x) = (10-x)(9-x)/240 ，所以你其实算得出closed-form solution 只是过程应该不是很舒服 不过呢，这题目问的是期望值，所以可以用 Linearity of Expectation 来处理 也就是：给定随机变数 X,Y,Z，如果 Z = X + Y 则 E[Z] = E[X] + E[Y] (但这高中有教吗？) 原本那篇推文下面有个满heuristic的作法，看起来是很不赖。 但这种heuristic的作法，有一定风险。 因为每个人都会有属於自己的直觉，但直觉并不总是对的。 这也是为什麽我觉得在我当机率助教，学生所问的古典机率问题里面， 最难回答的就是「为什麽我这样算会算错？」 其实问题通常是没有明确定义问题中的随机变数。 这个定义不明确的时候，大家的沟通也会变得比较困难 所以我们用一个比较没争议的写法 首先我把白球和红球各自打上编号： 白球是 w_1,w_2, ... w_7 红球是 r_1,r_2,r_3 然後我接着定义四个随机变数 Z0,Z1,Z2,Z3 分别为 Z0 = 第一个红球前的白球数量 Z1 = 第一和第二个红球之间的白球数量 Z2 = 第二和第三个红球之间的白球数量 Z3 = 第三个红球之後的白球数量 问题(1) 则是在问 E[Z0+1] 好，定义完要怎麽算呢？ 是这样的，如果我们定义随机变数 I(0,j) = 1 , 如果 w_j 出现在第一颗红球前面 0 , 其他 那麽可得到 Z0 = I(0,1) + I(0,2) + .... + I(0,7) 7 = Σ I(0,j) j=1 7 所以 E[Z0] = Σ E[I(0,j)] by linearity of expectation j=1 7 = Σ Pr(w_j 出现在第一颗红球前面) j=1 让我们先考虑: Pr(w_1 出现在第一颗红球前面) = Pr(w_1 出现在 r_1, r_2, r_3 前面) 在这10个球总共10!种排列方式中， 我们可以用 w_1, r_1, r_2, r_3 这四颗球的相对顺序去区分他们。 这每一个相对顺序包含的排列方式数量会是一样多的 比如：满足 (w_1, r_1, r_2, r_3) 相对顺序的排列数量， 跟满足 (r_1, w_1, r_2, r_3)相对顺序的排列数量是一样的 为什麽呢？ 因为任一个满足 (w_1, r_1, r_2, r_3)相对顺序的排列， 你把其中的 w_1 跟 r_1 位置交换，就会是满足 (r_1, w_1, r_2, r_3) 。 而且这是一个 one-to-one and onto 的关系 我讲了半天，想讲的就是 10 颗球里面 w_1出现在 r_1 r_2 r_3 前面的机率， 跟只有 w_1, r_1 , r_2 ,r_3 四颗球时 w_1出现在 r_1 r_2 r_3 前面的机率是一样的 所以 Pr(w_1 出现在 r_1, r_2, r_3 前面) = 3!/4! = 1/4 因此 E[I(0,1)] = Pr(w_1 出现在 r_1, r_2, r_3 前面) = 1/4 然後你们很聪明，一定自己看/算得出 E[I(0,j)] = 1/4 这样我们就能得到 E[Z0] = 7*1/4 = 7/4 而问题(1)问的是 E[Z0+1] = E[Z0] + 1 = 11/4 好，那问题(2)呢？ 其实问题(2)问的就是 E[Z0 + 1 + Z1 + 1] = E[Z0] + E[Z1] + 2 E[Z0] = 11/4 我们已经算出来了 E[Z1] 呢？ 我又要故技重施了 定义随机变数 I(1,j) = 1 , 如果 w_j 出现在第一颗和第二颗红球之间 0 , 其他情况 7 然後就又有 E[Z1] = Σ E[I(1,j)] j=1 7 = Σ Pr(w_j 出现在第一颗和第二颗红球之间) j=1 大家都很聪明，多半看得出我们知需要算 Pr(w_1 出现在第一颗和第二颗红球之间) 而且就同上面推论，会得到我们只需要看 只有 w_1, r_1, r_2, r_3 四颗球的时候， w_1 在第一颗红球和第二颗红球之间的机率，然後又很明显地就是 1/4 所以 E[Z1] = 7/4 ，故问题(2)的答案是 7/4+7/4+2 = 11/2 其实现在大家应该看得出来，E[Z0] = E[Z1] = E[Z2] = E[Z3] = 7/4 当然我想很多人一定可以有各种灵感得出这结论。 我只是提供一个我觉得比较清晰的呈现方式 不过呢，有时候问题想不出来，需要点灵感。 这种时候，我满推荐看角卷绵芽的直播 然後呢，我跟你说喔，角卷绵芽今天晚上九点会开100万订阅耐久歌台喔！ Link: https://youtu.be/jPribVolmYA Watame No.1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -- 凤雏的清楚讲习 https://i.imgur.com/23pfZv9.jpg https://i.imgur.com/wD6J6li.jpg --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 98.45.135.233 (美国) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1626501304.A.CAC.html 我完全没有要否定直觉的意思，毕竟直觉是引导我们解决问题的指标。 但直觉并不总是正确的。 处理机率问题，许多人都会有自己的巧思。 而如果没有证明过程，要怎麽知道自己写的是对的？ 比如我们怎麽知道问题(1)是 11/4？ 其实我相信 Pr(w_1 出现在 r_1, r_2, r_3 前面) 这个大家满容易直接写出 1/4。 毕竟「其他球不影响这事件」相当的接近大家的想像 但 E[Z0] 那段就没那麽trivial了 这个是另外一个对於抽象分析方法的内化过程。 不过这也是为什麽数学很重要。因为只有数学能描述这些现象 这让我想起加利略说的「数学是神写下这宇宙所使用的语言」 ※ 编辑: arrenwu (98.45.135.233 美国), 07/17/2021 16:15:36