想請問一下Friedberg書中的習題： -------------------------------------------------------------------- Let W be a finite-dimensional subspace of an inner product space V. Show that if T is the orthogonal projection on W, then I-T is the orthogonal projection on W^perp -------------------------------------------------------------------- 我這邊完全採用Friedberg的定義下去做, 結果證明的過程不需要dim(W)<infinity 但是以我看這本書的經驗, 他幾乎沒有過給多餘條件的情況...所以才懷疑我證錯 下面我會給他的定義以及我的證明, 再請各位板友幫忙, 謝謝！ P.S. 我猜測他給dim(W)<infinity是為了垂直投影的存在性 但是就他題目敘述的邏輯, 他存在性已經用假設的了, 那就根本不需要對W做假設 ========================================================================= 【定義】(R(T)是Range of T, N(T)是Null space of T) Let V be an inner product space over F = R or C Then (1) we say a linear transformation T: V→V is a projection if there exists subspaces W_1, W_2 s.t. V=W_1⊕W_2 and for any x = x_1 + x_2 with x_1€W_1 and x_2€W_2, we have T(x) = x_1 Moreover, we say T is a projection on W_1 (2) we say a projection T: V→V is an orthogonal projection if R(T)^perp = N(T) and N(T)^perp = R(T) 【性質】(用不到這個, 只是wiki跟書上都說是等價的也好證所以列一下) Let V be an inner product space over F = R or C and T: V→V be a linear transformation Then T is a projection <=> T^2 = T ！！注意到以上這些完全不用對V跟W做任何維度假設！！ 【想證】 Let V be an inner product space over F = R or C and W be a subspace of V (不需要finite-dimensional) if T is the orthogonal projection on W then I-T is the orthogonal projection on W^perp pf: Since T is the orthogonal projection on W, we have (1) V = W⊕W_2 and for any x with x = x_1 + x_2, x_1€W, x_2€W_2 we have T(x) = x_1 (2) R(T)^perp = N(T) and N(T)^perp = R(T) (3) From (1), (2) we have R(T) = W, N(T) = W_2 and W^perp = W_2 and W_2^perp = W (其實這裡就能證出一個性質：(W^perp)^perp = W, 不過這裡用不到) Now consider U := I-T Then (a) U(x) = (I-T)(x) = x - x_1 = x_2€W_2 (b) R(U) = {(I-T)(x)} = {x-x_1} = {x_2} = W_2 (c) N(U) = {x│U(x)=0} = {x│x_2 = 0} = W (d) R(U)^perp = W_2^perp = W = N(U) (e) N(U)^perp = W^perp = W_2 = R(U) Hence from (a)~(e), we know U is an orthogonal projection on W^perp, 證畢 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.132.77 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1624014345.A.B81.html ※ 編輯: znmkhxrw (123.110.132.77 臺灣), 06/18/2021 19:06:18 就是(d)不需要耶, 因為T是orthpgonal projection, 所以我們已經有W^perp = W_2 and W_2^perp = W, 不用用到雙補集就是自己 反而還可以推出雙補集就是自己 ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 20:47:57 你意思是若T是orthogonal projection on W, 不一定會有W=R(T) ?? ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:04:23 你這四句話我都認同, 可是跟原題好像不太一樣, 我是要問 "在只有假設W只是子空間的情況下, 若T是W上的垂直投影, 是否能推得I-T是在W^perp上 的垂直投影" 我的論證是可以的, 並且還可以推導出(W^perp)^perp=W 但是有鑑於閱讀這本書的經驗, 他都不會多給多餘的條件, 所以才問問看是否真的不用對 W做假設, either finite dimension or closed ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:15:24 對對對, 我就是證明這個結論才會覺得W的假設根本不需要, 也才猜說書只是為了正交投 影的存在性 但是今天他的敘事邏輯是把存在性做假設了, 那自然不需要對W做假設 ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:17:58 我就是想到有廣義定義的可能性才把我討論的字彙的定義都打出來 所以確實在這樣的定 義下根本不需要對W做限制就有 "若T是W上的垂直投影 則I-T是在W^perp上的垂直投影" 了吧!? ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:28:03 了解~所以在friedberg的敘述邏輯下他對於dim(W)的假設是多餘的沒錯 謝啦! ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.248.158 臺灣), 06/18/2021 21:43:13 真懷念 "欸乾 我怎麼沒用到條件" 已經是學生時代了QQ 06/19 10:18 可是完全不需要知道W^perp長相 XDDD ※ 編輯: znmkhxrw (42.73.206.52 臺灣), 06/20/2021 03:52:00