想请问一下Friedberg书中的习题： -------------------------------------------------------------------- Let W be a finite-dimensional subspace of an inner product space V. Show that if T is the orthogonal projection on W, then I-T is the orthogonal projection on W^perp -------------------------------------------------------------------- 我这边完全采用Friedberg的定义下去做, 结果证明的过程不需要dim(W)<infinity 但是以我看这本书的经验, 他几乎没有过给多余条件的情况...所以才怀疑我证错 下面我会给他的定义以及我的证明, 再请各位板友帮忙, 谢谢！ P.S. 我猜测他给dim(W)<infinity是为了垂直投影的存在性 但是就他题目叙述的逻辑, 他存在性已经用假设的了, 那就根本不需要对W做假设 ========================================================================= 【定义】(R(T)是Range of T, N(T)是Null space of T) Let V be an inner product space over F = R or C Then (1) we say a linear transformation T: V→V is a projection if there exists subspaces W_1, W_2 s.t. V=W_1⊕W_2 and for any x = x_1 + x_2 with x_1€W_1 and x_2€W_2, we have T(x) = x_1 Moreover, we say T is a projection on W_1 (2) we say a projection T: V→V is an orthogonal projection if R(T)^perp = N(T) and N(T)^perp = R(T) 【性质】(用不到这个, 只是wiki跟书上都说是等价的也好证所以列一下) Let V be an inner product space over F = R or C and T: V→V be a linear transformation Then T is a projection <=> T^2 = T ！！注意到以上这些完全不用对V跟W做任何维度假设！！ 【想证】 Let V be an inner product space over F = R or C and W be a subspace of V (不需要finite-dimensional) if T is the orthogonal projection on W then I-T is the orthogonal projection on W^perp pf: Since T is the orthogonal projection on W, we have (1) V = W⊕W_2 and for any x with x = x_1 + x_2, x_1€W, x_2€W_2 we have T(x) = x_1 (2) R(T)^perp = N(T) and N(T)^perp = R(T) (3) From (1), (2) we have R(T) = W, N(T) = W_2 and W^perp = W_2 and W_2^perp = W (其实这里就能证出一个性质：(W^perp)^perp = W, 不过这里用不到) Now consider U := I-T Then (a) U(x) = (I-T)(x) = x - x_1 = x_2€W_2 (b) R(U) = {(I-T)(x)} = {x-x_1} = {x_2} = W_2 (c) N(U) = {x│U(x)=0} = {x│x_2 = 0} = W (d) R(U)^perp = W_2^perp = W = N(U) (e) N(U)^perp = W^perp = W_2 = R(U) Hence from (a)~(e), we know U is an orthogonal projection on W^perp, 证毕 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 123.110.132.77 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1624014345.A.B81.html ※ 编辑: znmkhxrw (123.110.132.77 台湾), 06/18/2021 19:06:18 就是(d)不需要耶, 因为T是orthpgonal projection, 所以我们已经有W^perp = W_2 and W_2^perp = W, 不用用到双补集就是自己 反而还可以推出双补集就是自己 ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.248.158 台湾), 06/18/2021 20:47:57 你意思是若T是orthogonal projection on W, 不一定会有W=R(T) ?? ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.248.158 台湾), 06/18/2021 21:04:23 你这四句话我都认同, 可是跟原题好像不太一样, 我是要问 "在只有假设W只是子空间的情况下, 若T是W上的垂直投影, 是否能推得I-T是在W^perp上 的垂直投影" 我的论证是可以的, 并且还可以推导出(W^perp)^perp=W 但是有监於阅读这本书的经验, 他都不会多给多余的条件, 所以才问问看是否真的不用对 W做假设, either finite dimension or closed ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.248.158 台湾), 06/18/2021 21:15:24 对对对, 我就是证明这个结论才会觉得W的假设根本不需要, 也才猜说书只是为了正交投 影的存在性 但是今天他的叙事逻辑是把存在性做假设了, 那自然不需要对W做假设 ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.248.158 台湾), 06/18/2021 21:17:58 我就是想到有广义定义的可能性才把我讨论的字汇的定义都打出来 所以确实在这样的定 义下根本不需要对W做限制就有 "若T是W上的垂直投影 则I-T是在W^perp上的垂直投影" 了吧!? ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.248.158 台湾), 06/18/2021 21:28:03 了解~所以在friedberg的叙述逻辑下他对於dim(W)的假设是多余的没错 谢啦! ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.248.158 台湾), 06/18/2021 21:43:13 真怀念 "欸乾 我怎麽没用到条件" 已经是学生时代了QQ 06/19 10:18 可是完全不需要知道W^perp长相 XDDD ※ 编辑: znmkhxrw (42.73.206.52 台湾), 06/20/2021 03:52:00