想請教下面兩個問題, 我先用文字敘述, 之後再寫出詳細定義以及要證的東西 --------------------------------------------------------------------- Notation: (1) 如果x是向量, 那|x|表示2-norm (2) 如果X是矩陣, 那|X|表示Frobenius norm, 即sqrt of sum of square of all entries of X (3) A^t = transpose of A (4) A^* = conjugate transpose of A (5) A^+ = psuedo inverse of A (6) R(A) = range of A (7) A^bar = conjugate of A (8) F = the set of real numbers or the set of complex numbers (9) M_mxn(F) = the set of m by n matrices with all entries in F (10) F^n = {(x_1,...x_n):x_i€F} (11) 如果a是元素, A是集合, 那a€A表示a屬於A (12) 如果A,B都是集合, 那A≦B表示A包含於B (13) I_n = n by n identity matrix (14) #A = the number of elements in A (15) 若T:F^n→F^m是一個線性變換 E_n = {e_1,...,e_n} 是F^n的標準正交基底 則 ([T]_(E_n))^E_m 是 T的標準矩陣表達式, 簡寫成[T]_repr --------------------------------------------------------------------- 【問題一】 在某個referece中提到, 給定mxn矩陣A跟單位矩陣I_m時, 當限制了|X|要最小時, 就會存在唯一的一個X使|AX-I|最小, 這矩陣就是偽逆矩陣A^+ 而這份reference也提到說把|AX-I|拆成數個線性方程就可以看出這件事情 但是我自己在證的時候發現, 限制條件要更嚴格, 是X的每個column vector都要最小 當作限制條件才會有存在唯一解 不過我再經過矩陣改寫時, 意外的證出在原本的限制條件也會有存在唯一解 並且證出兩個解是一樣的 因此我想問的是: (a) 明明前者的範圍較大, 後者較小, 理應前者限制條件要有多組解, 有什麼解釋嗎 (b) 前者的限制條件有其他證明方法可以直接證存在唯一解嗎 因為我是用下面這方式改寫成矩陣與向量的形式: |AX-I| [A O O ... O O] [ x_1 ] [ e_1 ] [O A O ... O O] [ x_2 ] [ e_2 ] = | [. . . ... O O] [ . ] - [ . ] | [. . . ... . .] [ . ] [ . ] [O O O ... A O] [ x_(m-1)] [ e_(m-1)] [O O O ... O A] [ x_m ] [ e_m ] 但是這方式對我來說好湊的感覺, 所以才想說有沒有幾何觀念或是其他方法 直接證明Frobenius的限制條件也是存在唯一解 【問題二】 看了幾個偽逆矩陣的定義: (1) by SVD (2) by 【問題一】 (3) by Penrose condition (四個矩陣方程式有唯一解) 我想要一個最有幾何意義的定義, 於是回顧結合最佳近似解跟最小平方解的觀念: 給定mxn矩陣A, m維向量b, 我們知道存在唯一的最小範數最佳近似解x去最小化|Ax-b| 而這個x也是在所有最佳近似解中唯一落在R(A^*)的向量, 而如果已經有定義A^+ 的話, 其實x就是A^+b 因此, 我們有兩個新方式去定義A^+ 《Def1》給定矩陣A, 因為任給向量b, 存在唯一最小範數最佳近似解去最小化|Ax-b| 我們就可以定義一個函數T使得T(b)就是這個唯一解 《Def2》給定矩陣A, 因為任給向量b, 存在唯一在R(A^*)的最佳近似解去最小化|Ax-b| 我們就可以定義一個函數T使得T(b)就是這個唯一解 我的問題在, 不管我用哪個定義, 我都只證出了: (1) T是線性的, 因此可以用標準基底表達成矩陣, 記做A^+ (2) ((A^bar)^+) = (A^+)^bar 而我想要證明: (a) (A^*)^+ = (A^+)^* 其實在我有(2)的情況下, 等價於證出 (A^t)^+ = (A^+)^t (b) (A^+)^+ = A 長遠來看我是要證這幾個定義等價以及不管哪個定義下手, 偽逆矩陣的性質都成立 只是光進行到(1)跟(2)後就卡關了... =====================以下是嚴格數學敘述====================== 【Math 問題一】 Let A€M_mxn(F) Define S := {X€M_nxm(F)│|AX-I_m| <= |AY-I_m| for all Y€M_nxm(F)} (即S是|AX-I_m|的所有最佳近似矩陣X所形成的集合) and S_1 := {X€S│|x_i| <= |y_i| for all Y€M_nxm(F), for all i} where, x_i is the i-th column vector of X y_i is the i-th column vector of Y (即S_1是S中滿足column vector限制條件的矩陣) and S_2 := {X€S│|X|<=|Y| for Y€S} (即S_2是S中滿足Frobenius限制條件的矩陣) Prove #S_2 = 1 《對照先前文字說明》 很容易證明: (1) S非空集合 (2) S_1≦S_2 (3) #S_1 = 1 但是這些結果都不足以說明#S_2 = 1 直到我用矩陣拆解改寫的方式才獨立證明出#S_2=1 因此想問有沒有其他直觀的證法 【Math 問題二】(採用《Def1》) Let A€M_mxn(F) Then for any b€F^m, define S_b := {w€F^n│|Aw-b| = min_{x€F^n} |Ax-b|} (即S_b是|Ax-b|的所有最佳近似向量x所形成的集合) we already know that there exists uniquely v€F^n such that (1) v€S_b (2) |v|<=|w| for any w€S_b now we define a function T:F^m → F^n with T(b) = v and T is linear by trivial check finally, we denote A^+ := [T]_repr Prove that (0) (A^bar)^+ = (A^+)^bar (已證) (1) (A^*)^+ = (A^+)^* (2) (A^t)^+ = (A^+)^t (3) (A^+)^+ = A Let A€M_mxn(F) Then for any b€F^m, define S_b := {w€F^n│|Aw-b| = min_{x€F^n} |Ax-b|} (即S_b是|Ax-b|的所有最佳近似向量x所形成的集合) we already know that there exists uniquely v€F^n such that (1) v€S_b (2) |v|<=|w| for any w€S_b now we define a function T:F^m → F^n with T(b) = v and T is linear by trivial check finally, we denote A^+ := [T]_repr Prove that (0) (A^bar)^+ = (A^+)^bar (已證) (1) (A^*)^+ = (A^+)^* (2) (A^t)^+ = (A^+)^t (3) (A^+)^+ = A 《對照先前文字說明》 即用存在唯一的最小範數最佳近似解T(b)來定義偽逆矩陣A^+後, 想要證明他當然要有的那些偽逆矩陣該要有的性質 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.132.77 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1622713756.A.033.html 這個approach也蠻合理的 因為從penrose condition去推(2)(3)確實好推, 只是我既然從 最小平方解這個定義出發, 直接證回penrose condition的話有違我想要幾何結構的初衷X D, 所以才想直接從定義推 有書名可以提供嗎 謝謝! ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.233.220 臺灣), 06/04/2021 15:42:38