想请教下面两个问题, 我先用文字叙述, 之後再写出详细定义以及要证的东西 --------------------------------------------------------------------- Notation: (1) 如果x是向量, 那|x|表示2-norm (2) 如果X是矩阵, 那|X|表示Frobenius norm, 即sqrt of sum of square of all entries of X (3) A^t = transpose of A (4) A^* = conjugate transpose of A (5) A^+ = psuedo inverse of A (6) R(A) = range of A (7) A^bar = conjugate of A (8) F = the set of real numbers or the set of complex numbers (9) M_mxn(F) = the set of m by n matrices with all entries in F (10) F^n = {(x_1,...x_n):x_i€F} (11) 如果a是元素, A是集合, 那a€A表示a属於A (12) 如果A,B都是集合, 那A≦B表示A包含於B (13) I_n = n by n identity matrix (14) #A = the number of elements in A (15) 若T:F^n→F^m是一个线性变换 E_n = {e_1,...,e_n} 是F^n的标准正交基底 则 ([T]_(E_n))^E_m 是 T的标准矩阵表达式, 简写成[T]_repr --------------------------------------------------------------------- 【问题一】 在某个referece中提到, 给定mxn矩阵A跟单位矩阵I_m时, 当限制了|X|要最小时, 就会存在唯一的一个X使|AX-I|最小, 这矩阵就是伪逆矩阵A^+ 而这份reference也提到说把|AX-I|拆成数个线性方程就可以看出这件事情 但是我自己在证的时候发现, 限制条件要更严格, 是X的每个column vector都要最小 当作限制条件才会有存在唯一解 不过我再经过矩阵改写时, 意外的证出在原本的限制条件也会有存在唯一解 并且证出两个解是一样的 因此我想问的是: (a) 明明前者的范围较大, 後者较小, 理应前者限制条件要有多组解, 有什麽解释吗 (b) 前者的限制条件有其他证明方法可以直接证存在唯一解吗 因为我是用下面这方式改写成矩阵与向量的形式: |AX-I| [A O O ... O O] [ x_1 ] [ e_1 ] [O A O ... O O] [ x_2 ] [ e_2 ] = | [. . . ... O O] [ . ] - [ . ] | [. . . ... . .] [ . ] [ . ] [O O O ... A O] [ x_(m-1)] [ e_(m-1)] [O O O ... O A] [ x_m ] [ e_m ] 但是这方式对我来说好凑的感觉, 所以才想说有没有几何观念或是其他方法 直接证明Frobenius的限制条件也是存在唯一解 【问题二】 看了几个伪逆矩阵的定义: (1) by SVD (2) by 【问题一】 (3) by Penrose condition (四个矩阵方程式有唯一解) 我想要一个最有几何意义的定义, 於是回顾结合最佳近似解跟最小平方解的观念: 给定mxn矩阵A, m维向量b, 我们知道存在唯一的最小范数最佳近似解x去最小化|Ax-b| 而这个x也是在所有最佳近似解中唯一落在R(A^*)的向量, 而如果已经有定义A^+ 的话, 其实x就是A^+b 因此, 我们有两个新方式去定义A^+ 《Def1》给定矩阵A, 因为任给向量b, 存在唯一最小范数最佳近似解去最小化|Ax-b| 我们就可以定义一个函数T使得T(b)就是这个唯一解 《Def2》给定矩阵A, 因为任给向量b, 存在唯一在R(A^*)的最佳近似解去最小化|Ax-b| 我们就可以定义一个函数T使得T(b)就是这个唯一解 我的问题在, 不管我用哪个定义, 我都只证出了: (1) T是线性的, 因此可以用标准基底表达成矩阵, 记做A^+ (2) ((A^bar)^+) = (A^+)^bar 而我想要证明: (a) (A^*)^+ = (A^+)^* 其实在我有(2)的情况下, 等价於证出 (A^t)^+ = (A^+)^t (b) (A^+)^+ = A 长远来看我是要证这几个定义等价以及不管哪个定义下手, 伪逆矩阵的性质都成立 只是光进行到(1)跟(2)後就卡关了... =====================以下是严格数学叙述====================== 【Math 问题一】 Let A€M_mxn(F) Define S := {X€M_nxm(F)│|AX-I_m| <= |AY-I_m| for all Y€M_nxm(F)} (即S是|AX-I_m|的所有最佳近似矩阵X所形成的集合) and S_1 := {X€S│|x_i| <= |y_i| for all Y€M_nxm(F), for all i} where, x_i is the i-th column vector of X y_i is the i-th column vector of Y (即S_1是S中满足column vector限制条件的矩阵) and S_2 := {X€S│|X|<=|Y| for Y€S} (即S_2是S中满足Frobenius限制条件的矩阵) Prove #S_2 = 1 《对照先前文字说明》 很容易证明: (1) S非空集合 (2) S_1≦S_2 (3) #S_1 = 1 但是这些结果都不足以说明#S_2 = 1 直到我用矩阵拆解改写的方式才独立证明出#S_2=1 因此想问有没有其他直观的证法 【Math 问题二】(采用《Def1》) Let A€M_mxn(F) Then for any b€F^m, define S_b := {w€F^n│|Aw-b| = min_{x€F^n} |Ax-b|} (即S_b是|Ax-b|的所有最佳近似向量x所形成的集合) we already know that there exists uniquely v€F^n such that (1) v€S_b (2) |v|<=|w| for any w€S_b now we define a function T:F^m → F^n with T(b) = v and T is linear by trivial check finally, we denote A^+ := [T]_repr Prove that (0) (A^bar)^+ = (A^+)^bar (已证) (1) (A^*)^+ = (A^+)^* (2) (A^t)^+ = (A^+)^t (3) (A^+)^+ = A Let A€M_mxn(F) Then for any b€F^m, define S_b := {w€F^n│|Aw-b| = min_{x€F^n} |Ax-b|} (即S_b是|Ax-b|的所有最佳近似向量x所形成的集合) we already know that there exists uniquely v€F^n such that (1) v€S_b (2) |v|<=|w| for any w€S_b now we define a function T:F^m → F^n with T(b) = v and T is linear by trivial check finally, we denote A^+ := [T]_repr Prove that (0) (A^bar)^+ = (A^+)^bar (已证) (1) (A^*)^+ = (A^+)^* (2) (A^t)^+ = (A^+)^t (3) (A^+)^+ = A 《对照先前文字说明》 即用存在唯一的最小范数最佳近似解T(b)来定义伪逆矩阵A^+後, 想要证明他当然要有的那些伪逆矩阵该要有的性质 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 123.110.132.77 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1622713756.A.033.html 这个approach也蛮合理的 因为从penrose condition去推(2)(3)确实好推, 只是我既然从 最小平方解这个定义出发, 直接证回penrose condition的话有违我想要几何结构的初衷X D, 所以才想直接从定义推 有书名可以提供吗 谢谢! ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.233.220 台湾), 06/04/2021 15:42:38