※ 引述《someone (讀書說話行事做人)》之銘言： : ※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言： : : 已知a^2+b^2=c^2 : : 且a^3+b^3+c^3=d^3 : : a,b,c,d都是正整數（a<b<c<d)，a,b互質 : : 求a,b,c是否有（3,4,5）以外正整數解? : : 若有，是否有通式？ : : 若沒有，請證明沒有。 : 嘗試用畢氏三元數來做，有錯請指正。 : 不失一般性，令a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2， : m,n為一奇一偶，且m>n。 : a^3+b^3+c^3=2m^2(m^4+4mn^3+3n^4) : 而當n為偶數，m^2與m^4+4mn^3+3n^4同為奇數，無解。 : 當m為偶數，令m=2x，x與n仍互質。 : 2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)=8x^2(2x+n)(8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3) : 易知2x+n,8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3皆不為x的倍數， : 故x必為1，即m必為2，而n=1時恰為解 : 除(3,4,5)無另外正整數解 稍微延伸一下 8x^2(2x+n)(8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3) = 8x^2(n+2x)^2(3n^2-4nx+4x^2) 由 someone@ 的證明可知，當 x 沒有正整數立方根時無解 因為 gcd(x, n) = 1 gcd(x, n+2x) = 1 gcd(x, 3n^2-4nx+4x^2) = 1 gcd(n+2x, 3n^2-4nx+4x^2) = 1 <== 這裡我第一次寫錯了 gcd(n+2x, 3n^2 - 4nx + 4x^2) = gcd(n+2x, 24x^2) = G 24x^2 = 2^3 * 3 * x^2 已知 gcd(A, B) = gcd(A1, B) * gcd(A2, B) 若 gcd(A1, A2) = 1, A1*A2=A gcd(2, n+2x) == 1 (因為 n 是奇數) 若 3 | x ==> gcd(n, 3) == 1 ==> gcd(n + 2x, 24x^2) == 1 otherwise ==> gcd(n + 2x, 24x^2) = gcd(n + 2x, 3) = 3 or 1 若 8x^2(n+2x)^2(3n^2-4nx+4x^2) 有正整數立方根，則 x 有正整數立方根 (由 someone@ 的證明可知，當 x 沒有正整數立方根時無解) 且 若 n + 2x 和 3n^2 - 4nx + 4x^2 有大於 1 的最大公因數，則最大公因數為 3 ==> 3 | n + 2x 3 | 3n^2 - 4nx + 4x^2 ==> n MOD 3 == x MOD 3 如果 n + 2x 和 3n^2 - 4nx + 4x^2 互質，則 n + 2x 有正整數立方根 3n^2 - 4nx + 4x^2 有正整數立方根 都要成立 接下來的就不知道有沒有用了： 若 n+2x 和 3n^2 - 4nx + 4x^2 各有正整數立方根 ==> x(n+2x) = xn + 2x^2 有正整數立方根 (令他為 p^3) 令 3n^2 - 4nx + 4x^2 為 q^3 則 gcd(p, q) = 1 ==> 3n^2 - 5nx + 2x^2 = q^3 - p^3 (3n - x) (n - 2x) = (q-p)(q^2 + pq + p^2) --

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