※ 引述《someone (读书说话行事做人)》之铭言： : ※ 引述《DreamYeh (天使)》之铭言： : : 已知a^2+b^2=c^2 : : 且a^3+b^3+c^3=d^3 : : a,b,c,d都是正整数（a<b<c<d)，a,b互质 : : 求a,b,c是否有（3,4,5）以外正整数解? : : 若有，是否有通式？ : : 若没有，请证明没有。 : 尝试用毕氏三元数来做，有错请指正。 : 不失一般性，令a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2， : m,n为一奇一偶，且m>n。 : a^3+b^3+c^3=2m^2(m^4+4mn^3+3n^4) : 而当n为偶数，m^2与m^4+4mn^3+3n^4同为奇数，无解。 : 当m为偶数，令m=2x，x与n仍互质。 : 2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)=8x^2(2x+n)(8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3) : 易知2x+n,8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3皆不为x的倍数， : 故x必为1，即m必为2，而n=1时恰为解 : 除(3,4,5)无另外正整数解 稍微延伸一下 8x^2(2x+n)(8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3) = 8x^2(n+2x)^2(3n^2-4nx+4x^2) 由 someone@ 的证明可知，当 x 没有正整数立方根时无解 因为 gcd(x, n) = 1 gcd(x, n+2x) = 1 gcd(x, 3n^2-4nx+4x^2) = 1 gcd(n+2x, 3n^2-4nx+4x^2) = 1 <== 这里我第一次写错了 gcd(n+2x, 3n^2 - 4nx + 4x^2) = gcd(n+2x, 24x^2) = G 24x^2 = 2^3 * 3 * x^2 已知 gcd(A, B) = gcd(A1, B) * gcd(A2, B) 若 gcd(A1, A2) = 1, A1*A2=A gcd(2, n+2x) == 1 (因为 n 是奇数) 若 3 | x ==> gcd(n, 3) == 1 ==> gcd(n + 2x, 24x^2) == 1 otherwise ==> gcd(n + 2x, 24x^2) = gcd(n + 2x, 3) = 3 or 1 若 8x^2(n+2x)^2(3n^2-4nx+4x^2) 有正整数立方根，则 x 有正整数立方根 (由 someone@ 的证明可知，当 x 没有正整数立方根时无解) 且 若 n + 2x 和 3n^2 - 4nx + 4x^2 有大於 1 的最大公因数，则最大公因数为 3 ==> 3 | n + 2x 3 | 3n^2 - 4nx + 4x^2 ==> n MOD 3 == x MOD 3 如果 n + 2x 和 3n^2 - 4nx + 4x^2 互质，则 n + 2x 有正整数立方根 3n^2 - 4nx + 4x^2 有正整数立方根 都要成立 接下来的就不知道有没有用了： 若 n+2x 和 3n^2 - 4nx + 4x^2 各有正整数立方根 ==> x(n+2x) = xn + 2x^2 有正整数立方根 (令他为 p^3) 令 3n^2 - 4nx + 4x^2 为 q^3 则 gcd(p, q) = 1 ==> 3n^2 - 5nx + 2x^2 = q^3 - p^3 (3n - x) (n - 2x) = (q-p)(q^2 + pq + p^2) --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 104.132.150.77 (美国) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1620623266.A.1D0.html 补充几个没考虑到的状况 ※ 编辑: stimim (104.132.150.77 美国), 05/10/2021 15:41:05