作者someone (讀書說話行事做人)
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標題Re: [代數] a^2+b^2=c^2且a^3+b^3+c^3=d^3的正整數解
時間Mon May 10 11:27:26 2021
※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言：
: 已知a^2+b^2=c^2
: 且a^3+b^3+c^3=d^3
: a,b,c,d都是正整數（a<b<c<d)，a,b互質
: 求a,b,c是否有（3,4,5）以外正整數解?
: 若有，是否有通式？
: 若沒有，請證明沒有。
嘗試用畢氏三元數來做，有錯請指正。
不失一般性，令a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2，
m,n為一奇一偶，且m>n。
a^3+b^3+c^3=2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)
而當n為偶數，m^2與m^4+4mn^3+3n^4同為奇數，無解。
當m為偶數，令m=2x，x與n仍互質。
2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)=8x^2(2x+n)^2(4x^2-4xn+3n^2)
顯然4x^2-4xn+3n^2=x(2x+n)時有解。
解得(2x-3n)(x-n)=0
其中m=2x=3n不合，而x=n要互質只有皆為1時滿足
故m=2，n=1，即(a,b,c)=(3,4,5)。
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※算術基本定理:所有大於1的正整數皆可唯一分解為質因數的乘積.
※代數基本定理:(複數係數)一元n次方程式至少有一個複數根.
※微積分基本定理:微分與積分互為逆運算-->Stoke定理
※曲線論基本定理:空間曲線由曲率與扭率唯一決定.
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1F：推 stimim : what if x==z^3 for some integer z? 05/10 12:01
2F：→ someone : 不好意思，漏掉這個部分，有空再來看看。 05/10 12:27
3F：→ yyc2008 : 請問如何知道mn一奇一偶？ 05/10 13:41
4F：推 StellaNe : 同奇同偶會使ab都是偶數不互質 05/10 13:59
5F：→ yyc2008 : 謝謝S大，我忘了注意題目有互質要求 05/10 14:08
※ 編輯: someone (1.161.185.135 臺灣), 05/19/2021 00:14:05