作者someone (读书说话行事做人)
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标题Re: [代数] a^2+b^2=c^2且a^3+b^3+c^3=d^3的正整数解
时间Mon May 10 11:27:26 2021
※ 引述《DreamYeh (天使)》之铭言：
: 已知a^2+b^2=c^2
: 且a^3+b^3+c^3=d^3
: a,b,c,d都是正整数（a<b<c<d)，a,b互质
: 求a,b,c是否有（3,4,5）以外正整数解?
: 若有，是否有通式？
: 若没有，请证明没有。
尝试用毕氏三元数来做，有错请指正。
不失一般性，令a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2，
m,n为一奇一偶，且m>n。
a^3+b^3+c^3=2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)
而当n为偶数，m^2与m^4+4mn^3+3n^4同为奇数，无解。
当m为偶数，令m=2x，x与n仍互质。
2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)=8x^2(2x+n)^2(4x^2-4xn+3n^2)
显然4x^2-4xn+3n^2=x(2x+n)时有解。
解得(2x-3n)(x-n)=0
其中m=2x=3n不合，而x=n要互质只有皆为1时满足
故m=2，n=1，即(a,b,c)=(3,4,5)。
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※算术基本定理:所有大於1的正整数皆可唯一分解为质因数的乘积.
※代数基本定理:(复数系数)一元n次方程式至少有一个复数根.
※微积分基本定理:微分与积分互为逆运算-->Stoke定理
※曲线论基本定理:空间曲线由曲率与扭率唯一决定.
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1F：推 stimim : what if x==z^3 for some integer z? 05/10 12:01
2F：→ someone : 不好意思，漏掉这个部分，有空再来看看。 05/10 12:27
3F：→ yyc2008 : 请问如何知道mn一奇一偶？ 05/10 13:41
4F：推 StellaNe : 同奇同偶会使ab都是偶数不互质 05/10 13:59
5F：→ yyc2008 : 谢谢S大，我忘了注意题目有互质要求 05/10 14:08
※ 编辑: someone (1.161.185.135 台湾), 05/19/2021 00:14:05