作者harry921129 (哈利~~)
看板Math
標題Re: [中學] 不等式疑問.....
時間Sun Apr 25 19:31:55 2021
※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言：
: 請問
: a < 2x+y < b ......1
: c < x-y < d ......2
: 若我想求出 xy的範圍 要怎麼求.......???
: 會有這樣的疑慮是因為
: 從以上的1,2式 去分別求得 x,y範圍 進而求得xy的範圍 這樣似乎有有點問題
: 如下 (a+c)/3 < x < (b+d)/3 (a-2d)/3 < y < (b-2c)/3
: 代回求 2x+y 和 x-y 求範圍 就和題目不一樣了
謝謝原文下面的推文指點 也給了我很多想法
我用以下的例子來檢驗自己的想法是否正確
##
1<=x-y<=5
2<=x+y<=4 試求xy的最大最小值
畫出x-y=1 , x-y=5 , x+y=2 , x+y=4 為一個平行四邊形
考慮 y=x-k 其中1<=k<=5 (也就是介於x-y=1,x-y=5的平行線)
for every 1<=k'<=5 , y=x-k'和x+y=2解 x=(k'+2)/2
y=x-k'和x+y=4解 x=(k'+4)/2
則xy=x(x-k')=x^2 - k'x 此二次函數頂點x座標=k'/2 不在範圍內
所以xy的極大極小值發生在 x=(k'+2)/2 和 x=(k'+4)/2
代入得到函數值為 (4-k'^2)/2 和 (16-k'^2)/2
亦即 對於every k' (4-k'^2)/2 <= f_k' <= (16-k'^2)/2
故 min{ (4-k'^2)/2 | 1<=k'<=5} <= xy <= max{ (16-k'^2)/2 | 1<=k'<=5}
也就是當k'=1和k'=5時 xy有極值
也就是xy的極值會落在x-y=1 , x-y=5 的點上
同理 可以考慮 y=-x+m 其中2<=m<=4 (也就是介於x+y=4,x+y=2的平行線)
也可證得xy的極值會落在x+y=2 , x+y=4 的點上
取交集 xy極值發生在1<=x-y<=5 ,2<=x+y<=4 的平行四邊形區域的頂點上
不知這樣想法是否正確??
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1F：推 chemmachine : 看起來怪怪的 不過也有可能你是對的 我會這樣想 04/25 19:52
2F：→ chemmachine : z=xy的x和y偏微不等於零，所以極大和極小值一定在四 04/25 19:52
3F：→ chemmachine : 條斜線上，不失一般性設在x-y=1上 則x-y就不會是5了 04/25 19:53
4F：→ chemmachine : 所以問題降低維度了，變成z=xy交集x-y=1 限制在 04/25 19:54
5F：→ chemmachine : 2<=x+y<=4上 04/25 19:54
6F：→ chemmachine : z=x*(x-1) z'=2x-1=0 x=1/2 極值在x=1/2 04/25 19:56
7F：→ chemmachine : z=1/2*y限制在 2<=1/2+y<=4 上 故知極值一定在邊界 04/25 19:57
8F：→ chemmachine : 其他情形都不失一般性 04/25 19:57
9F：推 chemmachine : 更正 我的倒數1 .2 .3行錯誤 04/25 20:03
10F：→ chemmachine : 問題化為z=x*(x-1) 04/25 20:04
11F：→ chemmachine : 範圍在2<=x+(x-1)<=4上 微分z'=0在x=1/2不在範圍 04/25 20:05
12F：→ chemmachine : 所以2x-1在2及4處 04/25 20:06
13F：→ harry921129 : 請問c大 您的第二行的意思是否如下... 04/25 20:33
14F：→ harry921129 : 因為此平行四邊形的區域不包含(0,0) 所以會使得 04/25 20:34
15F：→ harry921129 : z=xy的x和y的偏微分"不同時"為0.所以在區域內無極值 04/25 20:35
16F：→ harry921129 : 於是極值必定發生在平行四邊形邊上的點 04/25 20:35
17F：→ harry921129 : 那是否可以 以y=x-5,y=x-1,y=-x+4,y=-x+2代入z=xy 04/25 20:37
18F：→ harry921129 : 得到x(x-5),x(x-1),x(-x+4),x(-x+2)對他們做d/dx=0 04/25 20:39
19F：→ harry921129 : 若所得到臨界點(x,y)有落在區遇內,則代入比較大小 04/25 20:41
20F：→ harry921129 : 得到極大極小值... 04/25 20:42
21F：推 chemmachine : 對 這邊對，然後我偏微分錯，是z_x=y=0和z_y=x=0 04/25 20:42
22F：→ chemmachine : you got it 這個討論的kkt方法如此複雜 但可以應付 04/25 20:43
23F：→ harry921129 : 感謝您~~~ 04/25 20:43
24F：→ chemmachine : 所有的有顯式多元函數和包含多個不等式 等式 限制式 04/25 20:43
25F：→ chemmachine : 的極值問題 04/25 20:44