作者harry921129 (哈利~~)
看板Math
标题Re: [中学] 不等式疑问.....
时间Sun Apr 25 19:31:55 2021
※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之铭言：
: 请问
: a < 2x+y < b ......1
: c < x-y < d ......2
: 若我想求出 xy的范围 要怎麽求.......???
: 会有这样的疑虑是因为
: 从以上的1,2式 去分别求得 x,y范围 进而求得xy的范围 这样似乎有有点问题
: 如下 (a+c)/3 < x < (b+d)/3 (a-2d)/3 < y < (b-2c)/3
: 代回求 2x+y 和 x-y 求范围 就和题目不一样了
谢谢原文下面的推文指点 也给了我很多想法
我用以下的例子来检验自己的想法是否正确
##
1<=x-y<=5
2<=x+y<=4 试求xy的最大最小值
画出x-y=1 , x-y=5 , x+y=2 , x+y=4 为一个平行四边形
考虑 y=x-k 其中1<=k<=5 (也就是介於x-y=1,x-y=5的平行线)
for every 1<=k'<=5 , y=x-k'和x+y=2解 x=(k'+2)/2
y=x-k'和x+y=4解 x=(k'+4)/2
则xy=x(x-k')=x^2 - k'x 此二次函数顶点x座标=k'/2 不在范围内
所以xy的极大极小值发生在 x=(k'+2)/2 和 x=(k'+4)/2
代入得到函数值为 (4-k'^2)/2 和 (16-k'^2)/2
亦即 对於every k' (4-k'^2)/2 <= f_k' <= (16-k'^2)/2
故 min{ (4-k'^2)/2 | 1<=k'<=5} <= xy <= max{ (16-k'^2)/2 | 1<=k'<=5}
也就是当k'=1和k'=5时 xy有极值
也就是xy的极值会落在x-y=1 , x-y=5 的点上
同理 可以考虑 y=-x+m 其中2<=m<=4 (也就是介於x+y=4,x+y=2的平行线)
也可证得xy的极值会落在x+y=2 , x+y=4 的点上
取交集 xy极值发生在1<=x-y<=5 ,2<=x+y<=4 的平行四边形区域的顶点上
不知这样想法是否正确??
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1F：推 chemmachine : 看起来怪怪的 不过也有可能你是对的 我会这样想 04/25 19:52
2F：→ chemmachine : z=xy的x和y偏微不等於零，所以极大和极小值一定在四 04/25 19:52
3F：→ chemmachine : 条斜线上，不失一般性设在x-y=1上 则x-y就不会是5了 04/25 19:53
4F：→ chemmachine : 所以问题降低维度了，变成z=xy交集x-y=1 限制在 04/25 19:54
5F：→ chemmachine : 2<=x+y<=4上 04/25 19:54
6F：→ chemmachine : z=x*(x-1) z'=2x-1=0 x=1/2 极值在x=1/2 04/25 19:56
7F：→ chemmachine : z=1/2*y限制在 2<=1/2+y<=4 上 故知极值一定在边界 04/25 19:57
8F：→ chemmachine : 其他情形都不失一般性 04/25 19:57
9F：推 chemmachine : 更正 我的倒数1 .2 .3行错误 04/25 20:03
10F：→ chemmachine : 问题化为z=x*(x-1) 04/25 20:04
11F：→ chemmachine : 范围在2<=x+(x-1)<=4上 微分z'=0在x=1/2不在范围 04/25 20:05
12F：→ chemmachine : 所以2x-1在2及4处 04/25 20:06
13F：→ harry921129 : 请问c大 您的第二行的意思是否如下... 04/25 20:33
14F：→ harry921129 : 因为此平行四边形的区域不包含(0,0) 所以会使得 04/25 20:34
15F：→ harry921129 : z=xy的x和y的偏微分"不同时"为0.所以在区域内无极值 04/25 20:35
16F：→ harry921129 : 於是极值必定发生在平行四边形边上的点 04/25 20:35
17F：→ harry921129 : 那是否可以 以y=x-5,y=x-1,y=-x+4,y=-x+2代入z=xy 04/25 20:37
18F：→ harry921129 : 得到x(x-5),x(x-1),x(-x+4),x(-x+2)对他们做d/dx=0 04/25 20:39
19F：→ harry921129 : 若所得到临界点(x,y)有落在区遇内,则代入比较大小 04/25 20:41
20F：→ harry921129 : 得到极大极小值... 04/25 20:42
21F：推 chemmachine : 对 这边对，然後我偏微分错，是z_x=y=0和z_y=x=0 04/25 20:42
22F：→ chemmachine : you got it 这个讨论的kkt方法如此复杂 但可以应付 04/25 20:43
23F：→ harry921129 : 感谢您~~~ 04/25 20:43
24F：→ chemmachine : 所有的有显式多元函数和包含多个不等式 等式 限制式 04/25 20:43
25F：→ chemmachine : 的极值问题 04/25 20:44