作者ted010233 (yh1007)
看板Math
標題[微方] 一階差分方程求特解（訊號類題目）
時間Tue Apr 13 00:51:58 2021
題目
y[n]-1/9y[n-2] = x[n-1]
Initial condition
y[-1]= 1, y[-2] =0, x[n]=u[n]
我先解出 y(h)[n]=a(1/3)^n+b(-1/3)^n
然後再用 y(p)[n]=k (for n>=0)
求特解得 y(p)[n]=9/8 (for n>=0)
然後再寫 y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n]
接著利用題目及初始值推出以下來解y(c)的a和b
y[n]=x[n-1]+1/9y[n-2]
y[0]=x[-1]+1/9y[-2] ~~~e
y[1]=x[0]+1/9y[-1] ~~~f
y[2]=x[1]+1/9y[0 ] ~~~g
接著我應該用
(1)ef來解ab 答y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n]
(2)fg來解ab 答y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n-1]
哪一個才是對的
糾結的點在於特解必須要符合n>=0
y的complete解也是
但因為題目有一項x[n-1］
因此在帶e式的時候會出現n是小於0的x[-1]
裡要直接把他當作initial condition（u[-1]=0 ）來看就好還是要用n大於0的fg式來解
（碰巧這題的答案不影響 因為在0的時候值為0，但在別題有差）
感謝
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※ 編輯: ted010233 (163.25.119.63 臺灣), 04/13/2021 00:55:30
※ 編輯: ted010233 (163.25.119.63 臺灣), 04/13/2021 00:56:01
※ 編輯: ted010233 (101.12.38.195 臺灣), 04/13/2021 02:44:43
1F：→ RicciCurvatu: 我看不懂你的符號 []是微分? 那你初始條件是不是要 04/13 05:28
2F：→ RicciCurvatu: 給定點? 04/13 05:29
3F：→ kerry0720 : 這是差分吧？ 04/13 09:15
對 忘記備註了...
4F：→ kerry0720 : 離散訊號？ 04/13 09:15
5F：推 chemmachine : 本來也看不懂，查了一下是差分方程。 04/13 09:37
7F：→ chemmachine : 差分方程、遞迴數列，微分方程都可以用特徵方程式 04/13 09:38
8F：→ chemmachine : 來解，如果結構夠好的話 04/13 09:39
9F：→ chemmachine : y[n]-1/9y[n-2] = x[n-1] 的特徵方程為x^2-1/9=0 04/13 09:39
10F：→ chemmachine : x=+-1/3 04/13 09:40
11F：→ chemmachine : 令x[n-1]=k(在少數點有例外值，剔除就好)為constant 04/13 09:41
12F：→ chemmachine : 即找尋a_n-1/9a_(n-2)=k遞迴數列之解 04/13 09:42
13F：→ chemmachine : 公式解為a_n=a*(1/3)^n+b*(-1/3)^n+alpha alpha常數 04/13 09:43
14F：→ chemmachine : 令a_n-alpha=1/9(a_n-2-alpha) 04/13 09:45
15F：→ chemmachine : alpha=9/8*k=9/8x[n-1] 04/13 09:46
16F：→ chemmachine : x[n]=u[n-1] u為unit step function 04/13 09:47
17F：推 chemmachine : 根據zill 的ode課本(台大電機微分方程用書)裡unit 04/13 09:50
18F：→ chemmachine : step fuction定義 04/13 09:50
20F：→ chemmachine : x[-1]=0 x[0]=1 x[1]=1.....x[n]=1 for n>=0 04/13 09:55
21F：→ chemmachine : 故你的f式 g式沒問題 求得的解為公式解 04/13 09:56
22F：→ chemmachine : 但e式為特殊值，要另外寫 04/13 09:57
23F：→ chemmachine : 故你的公式解滿足y_n=a*(1/3)^n+b*(-1/3)^n+alpha 04/13 09:58
24F：推 kerry0720 : 可以先試試看令一個新的函數g[n]=y[n+1]然後解g[n] 04/13 09:58
25F：→ kerry0720 : 應該可以避開初始值問題 04/13 09:58
26F：→ chemmachine : n>=1 但n=0時 y[0]用你的initial去帶，不合公式解 04/13 09:58
27F：→ chemmachine : 寫解答時公式姐和特殊解並列一起寫 04/13 09:59
28F：→ kerry0720 : 不過這題我寫出來以後答案有四個區塊，我想應該沒 04/13 10:03
29F：→ kerry0720 : 辦法直接解差分方程 04/13 10:03
※ 編輯: ted010233 (101.12.38.195 臺灣), 04/13/2021 10:09:14
※ 編輯: ted010233 (101.12.38.195 臺灣), 04/13/2021 10:09:52
31F：推 chemmachine : 公式解n代enen或odd剛好會消成1/9的樣子，所以應該 04/13 11:31
32F：→ chemmachine : 是一樣的。 04/13 11:32
33F：→ kerry0720 : c大可以傳一下計算過程嗎～想了解 04/14 01:27
35F：推 chemmachine : 我所描述的方法在高中數學競賽遞迴數列的章節都有 04/14 10:32
36F：→ chemmachine : 細節就是要自己做檢查 奇偶還是可以用indicator 04/14 10:33
37F：→ chemmachine : function 或其他特殊函數做結合，不過那沒意義 04/14 10:33
38F：推 chemmachine : n<0是也是可以做的也是類似，只是我做數列通常是大 04/14 12:10
39F：→ chemmachine : 於0，initial condition看題目是n>0還是也有n<0的邊 04/14 12:11
40F：→ chemmachine : 界 04/14 12:11
41F：→ kerry0720 : 了解感謝 04/14 15:18