作者ted010233 (yh1007)
看板Math
标题[微方] 一阶差分方程求特解（讯号类题目）
时间Tue Apr 13 00:51:58 2021
题目
y[n]-1/9y[n-2] = x[n-1]
Initial condition
y[-1]= 1, y[-2] =0, x[n]=u[n]
我先解出 y(h)[n]=a(1/3)^n+b(-1/3)^n
然後再用 y(p)[n]=k (for n>=0)
求特解得 y(p)[n]=9/8 (for n>=0)
然後再写 y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n]
接着利用题目及初始值推出以下来解y(c)的a和b
y[n]=x[n-1]+1/9y[n-2]
y[0]=x[-1]+1/9y[-2] ~~~e
y[1]=x[0]+1/9y[-1] ~~~f
y[2]=x[1]+1/9y[0 ] ~~~g
接着我应该用
(1)ef来解ab 答y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n]
(2)fg来解ab 答y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n-1]
哪一个才是对的
纠结的点在於特解必须要符合n>=0
y的complete解也是
但因为题目有一项x[n-1］
因此在带e式的时候会出现n是小於0的x[-1]
里要直接把他当作initial condition（u[-1]=0 ）来看就好还是要用n大於0的fg式来解
（碰巧这题的答案不影响 因为在0的时候值为0，但在别题有差）
感谢
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※ 编辑: ted010233 (163.25.119.63 台湾), 04/13/2021 00:55:30
※ 编辑: ted010233 (163.25.119.63 台湾), 04/13/2021 00:56:01
※ 编辑: ted010233 (101.12.38.195 台湾), 04/13/2021 02:44:43
1F：→ RicciCurvatu: 我看不懂你的符号 []是微分? 那你初始条件是不是要 04/13 05:28
2F：→ RicciCurvatu: 给定点? 04/13 05:29
3F：→ kerry0720 : 这是差分吧？ 04/13 09:15
对 忘记备注了...
4F：→ kerry0720 : 离散讯号？ 04/13 09:15
5F：推 chemmachine : 本来也看不懂，查了一下是差分方程。 04/13 09:37
7F：→ chemmachine : 差分方程、递回数列，微分方程都可以用特徵方程式 04/13 09:38
8F：→ chemmachine : 来解，如果结构够好的话 04/13 09:39
9F：→ chemmachine : y[n]-1/9y[n-2] = x[n-1] 的特徵方程为x^2-1/9=0 04/13 09:39
10F：→ chemmachine : x=+-1/3 04/13 09:40
11F：→ chemmachine : 令x[n-1]=k(在少数点有例外值，剔除就好)为constant 04/13 09:41
12F：→ chemmachine : 即找寻a_n-1/9a_(n-2)=k递回数列之解 04/13 09:42
13F：→ chemmachine : 公式解为a_n=a*(1/3)^n+b*(-1/3)^n+alpha alpha常数 04/13 09:43
14F：→ chemmachine : 令a_n-alpha=1/9(a_n-2-alpha) 04/13 09:45
15F：→ chemmachine : alpha=9/8*k=9/8x[n-1] 04/13 09:46
16F：→ chemmachine : x[n]=u[n-1] u为unit step function 04/13 09:47
17F：推 chemmachine : 根据zill 的ode课本(台大电机微分方程用书)里unit 04/13 09:50
18F：→ chemmachine : step fuction定义 04/13 09:50
20F：→ chemmachine : x[-1]=0 x[0]=1 x[1]=1.....x[n]=1 for n>=0 04/13 09:55
21F：→ chemmachine : 故你的f式 g式没问题 求得的解为公式解 04/13 09:56
22F：→ chemmachine : 但e式为特殊值，要另外写 04/13 09:57
23F：→ chemmachine : 故你的公式解满足y_n=a*(1/3)^n+b*(-1/3)^n+alpha 04/13 09:58
24F：推 kerry0720 : 可以先试试看令一个新的函数g[n]=y[n+1]然後解g[n] 04/13 09:58
25F：→ kerry0720 : 应该可以避开初始值问题 04/13 09:58
26F：→ chemmachine : n>=1 但n=0时 y[0]用你的initial去带，不合公式解 04/13 09:58
27F：→ chemmachine : 写解答时公式姐和特殊解并列一起写 04/13 09:59
28F：→ kerry0720 : 不过这题我写出来以後答案有四个区块，我想应该没 04/13 10:03
29F：→ kerry0720 : 办法直接解差分方程 04/13 10:03
※ 编辑: ted010233 (101.12.38.195 台湾), 04/13/2021 10:09:14
※ 编辑: ted010233 (101.12.38.195 台湾), 04/13/2021 10:09:52
31F：推 chemmachine : 公式解n代enen或odd刚好会消成1/9的样子，所以应该 04/13 11:31
32F：→ chemmachine : 是一样的。 04/13 11:32
33F：→ kerry0720 : c大可以传一下计算过程吗～想了解 04/14 01:27
35F：推 chemmachine : 我所描述的方法在高中数学竞赛递回数列的章节都有 04/14 10:32
36F：→ chemmachine : 细节就是要自己做检查 奇偶还是可以用indicator 04/14 10:33
37F：→ chemmachine : function 或其他特殊函数做结合，不过那没意义 04/14 10:33
38F：推 chemmachine : n<0是也是可以做的也是类似，只是我做数列通常是大 04/14 12:10
39F：→ chemmachine : 於0，initial condition看题目是n>0还是也有n<0的边 04/14 12:11
40F：→ chemmachine : 界 04/14 12:11
41F：→ kerry0720 : 了解感谢 04/14 15:18