作者HmmHmm (凝結的時間)
看板Math
標題[線代] 兩個 eigenvector 垂直
時間Tue Mar 2 07:18:52 2021
假設我有一個 3*3 matrix T,
使得 T 的三個 eigenvalue 都不一樣，且和為零 (<=> tr(T) = 0)
現在想要找一個簡單的判別方法，
來判定其中兩個 eigenvectors 有沒有互相垂直
請問有沒有這樣的方法?
希望能用一些簡單的值像是 determinant 跟 minors 來刻畫
或是用 matrix 的性質類似於 symmetric, normal 這種
謝謝大家
p.s. 如果一般的情況不知道怎麼辦，
也可先假設這兩個 eigenvectors 對應的 eigenvalues 是兩個共軛的複數
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1F：推 LPH66 : 雖然只是個方向, 但如果對角化 T = U^-1 D U 03/02 07:35
2F：→ LPH66 : 再設 v 是 T 的一個 eigenvector 就能推得 Uv 是 03/02 07:35
3F：→ LPH66 : D 的 eigenvector, 但對角矩陣的 EV 是單位向量 03/02 07:36
4F：→ LPH66 : 也就是說 U 把兩個垂直向量仍然變成垂直 03/02 07:36
5F：→ LPH66 : 這應該可以給條件(2)一點方向 03/02 07:36
6F：推 chemmachine : 令T=第一列a1 a2 a3第二列 b1 b2 b3 第三列c1 c2 c3 03/03 12:28
7F：→ chemmachine : 三個特徵值為det(T-LUMBDAI)此三次方程根，可以套卡 03/03 12:30
8F：→ chemmachine : 當諾方程寫出顯式解。 03/03 12:30
9F：→ chemmachine : T的三個EIGEN VALUE不一樣可轉化為此特徵方程有相異 03/03 12:31
10F：→ chemmachine : 根。滿足三次程的三相異根判別式，維基即可查閱。 03/03 12:32
11F：→ chemmachine : TR(T)為零代表此三次方程的二次項為零(韋達公式)， 03/03 12:34
12F：→ chemmachine : 這裡得不到新東西。單純a1+b2+c3=0 03/03 12:35
13F：→ chemmachine : 第二題要求特徵向量，因為已知T和特徵值，計算T-LUM 03/03 12:36
14F：→ chemmachine : BDA_1 I的第一行和第二行(任兩行皆可)外積，可得特 03/03 12:38
15F：→ chemmachine : 徵向量可表為a1 a2 a3外積b1 b2 b3為2*2MINOR行列式 03/03 12:39
16F：→ chemmachine : 選兩個LUMBDA算兩個外積得兩特徵向量，再列出內積=0 03/03 12:40
17F：→ chemmachine : 滿足以上條件的T即為所求。形式不會太複雜，但把LUM 03/03 12:41
18F：→ chemmachine : BDA寫成顯式會很複雜 03/03 12:41
19F：→ chemmachine : LUMBDA1，2，3三特徵值確實可由a1a2a3b1b2b3c1c2c3 03/03 12:42
20F：→ chemmachine : 表達 03/03 12:42
※ 編輯: HmmHmm (218.173.2.190 臺灣), 03/03/2021 15:36:47
21F：→ HmmHmm : 不好意思 eigenvalues 全相異且和為零是假設 03/03 15:37
22F：→ HmmHmm : 真的想要刻畫的性質是 eigenvector 垂直 已改文章 03/03 15:38
23F：→ HmmHmm : chemmachine 謝謝你的回答，不過這真的好複雜.... 03/03 15:41
24F：→ HmmHmm : 而且任兩行不能保證他們是 linearly independent 03/03 15:42
25F：推 chemmachine : hmm大，我的意思是已知3*3矩陣的九個數字，可以用代 03/05 23:58
26F：→ chemmachine : 數硬算出三個特徵值，因為你假設特徵值相異，所以 03/05 23:58
27F：→ chemmachine : 用t-lumbda i 列方程可以硬算出三個特徵向量，不會 03/05 23:58
28F：→ chemmachine : 像jordan form 退化。 03/05 23:58
29F：→ chemmachine : t-lumbda i列出三個方程一定可以互消到算出(x y z) 03/05 23:58
30F：→ chemmachine : 的比值，就是可以算出特徵向量的顯式表達。這應該可 03/05 23:58
31F：→ chemmachine : 以用例子檢驗，就是不知道我有沒有會錯你的意思。特 03/05 23:58
32F：→ chemmachine : 徵三個向量都知道 其他特徵向量只是這三個向量常數 03/05 23:58
33F：→ chemmachine : 倍，再直接內積就可以檢驗了。 03/05 23:58