作者HmmHmm (凝结的时间)
看板Math
标题[线代] 两个 eigenvector 垂直
时间Tue Mar 2 07:18:52 2021
假设我有一个 3*3 matrix T,
使得 T 的三个 eigenvalue 都不一样，且和为零 (<=> tr(T) = 0)
现在想要找一个简单的判别方法，
来判定其中两个 eigenvectors 有没有互相垂直
请问有没有这样的方法?
希望能用一些简单的值像是 determinant 跟 minors 来刻画
或是用 matrix 的性质类似於 symmetric, normal 这种
谢谢大家
p.s. 如果一般的情况不知道怎麽办，
也可先假设这两个 eigenvectors 对应的 eigenvalues 是两个共轭的复数
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1F：推 LPH66 : 虽然只是个方向, 但如果对角化 T = U^-1 D U 03/02 07:35
2F：→ LPH66 : 再设 v 是 T 的一个 eigenvector 就能推得 Uv 是 03/02 07:35
3F：→ LPH66 : D 的 eigenvector, 但对角矩阵的 EV 是单位向量 03/02 07:36
4F：→ LPH66 : 也就是说 U 把两个垂直向量仍然变成垂直 03/02 07:36
5F：→ LPH66 : 这应该可以给条件(2)一点方向 03/02 07:36
6F：推 chemmachine : 令T=第一列a1 a2 a3第二列 b1 b2 b3 第三列c1 c2 c3 03/03 12:28
7F：→ chemmachine : 三个特徵值为det(T-LUMBDAI)此三次方程根，可以套卡 03/03 12:30
8F：→ chemmachine : 当诺方程写出显式解。 03/03 12:30
9F：→ chemmachine : T的三个EIGEN VALUE不一样可转化为此特徵方程有相异 03/03 12:31
10F：→ chemmachine : 根。满足三次程的三相异根判别式，维基即可查阅。 03/03 12:32
11F：→ chemmachine : TR(T)为零代表此三次方程的二次项为零(韦达公式)， 03/03 12:34
12F：→ chemmachine : 这里得不到新东西。单纯a1+b2+c3=0 03/03 12:35
13F：→ chemmachine : 第二题要求特徵向量，因为已知T和特徵值，计算T-LUM 03/03 12:36
14F：→ chemmachine : BDA_1 I的第一行和第二行(任两行皆可)外积，可得特 03/03 12:38
15F：→ chemmachine : 徵向量可表为a1 a2 a3外积b1 b2 b3为2*2MINOR行列式 03/03 12:39
16F：→ chemmachine : 选两个LUMBDA算两个外积得两特徵向量，再列出内积=0 03/03 12:40
17F：→ chemmachine : 满足以上条件的T即为所求。形式不会太复杂，但把LUM 03/03 12:41
18F：→ chemmachine : BDA写成显式会很复杂 03/03 12:41
19F：→ chemmachine : LUMBDA1，2，3三特徵值确实可由a1a2a3b1b2b3c1c2c3 03/03 12:42
20F：→ chemmachine : 表达 03/03 12:42
※ 编辑: HmmHmm (218.173.2.190 台湾), 03/03/2021 15:36:47
21F：→ HmmHmm : 不好意思 eigenvalues 全相异且和为零是假设 03/03 15:37
22F：→ HmmHmm : 真的想要刻画的性质是 eigenvector 垂直 已改文章 03/03 15:38
23F：→ HmmHmm : chemmachine 谢谢你的回答，不过这真的好复杂.... 03/03 15:41
24F：→ HmmHmm : 而且任两行不能保证他们是 linearly independent 03/03 15:42
25F：推 chemmachine : hmm大，我的意思是已知3*3矩阵的九个数字，可以用代 03/05 23:58
26F：→ chemmachine : 数硬算出三个特徵值，因为你假设特徵值相异，所以 03/05 23:58
27F：→ chemmachine : 用t-lumbda i 列方程可以硬算出三个特徵向量，不会 03/05 23:58
28F：→ chemmachine : 像jordan form 退化。 03/05 23:58
29F：→ chemmachine : t-lumbda i列出三个方程一定可以互消到算出(x y z) 03/05 23:58
30F：→ chemmachine : 的比值，就是可以算出特徵向量的显式表达。这应该可 03/05 23:58
31F：→ chemmachine : 以用例子检验，就是不知道我有没有会错你的意思。特 03/05 23:58
32F：→ chemmachine : 徵三个向量都知道 其他特徵向量只是这三个向量常数 03/05 23:58
33F：→ chemmachine : 倍，再直接内积就可以检验了。 03/05 23:58