作者xxxx9659 (嘎嘎嘎嘎嘎)
看板Math
標題[代數] 一題證明題
時間Fri Feb 19 12:20:08 2021
剛剛在算數學自己想了一道題目
感覺是對的，但是又證明不出來
來板上問看看有沒有高手有證明的想法？
題目：
有六個實數 a, b, c, A, B, C >= 0
而且 a + b + c = A + B + C > 0
試證明 a^a * b^b * c^c >= A^a * B^b * C^c 永遠為真
若不是，請舉出反例
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1F：→ Poincare : 如果兩個變數時的情況是對的 那可以用歸納法證明 02/19 13:43
2F：→ Poincare : 三個變數(也就是你寫的)也是對的 02/19 13:43
3F：推 alan23273850: 我猜 1^1 * 3^3 < (0.1)^1 * (3.9)^3 02/19 18:46
4F：→ alan23273850: 欸欸 刪除我上一樓推文好了 太白痴了 02/19 18:47
5F：→ chemmachine : 我找到a or b or c一者為0，A B C全不為0 是一個反 02/19 20:05
6F：→ chemmachine : 例 如果承認0^0的話 如果假設abc ABC全不為0 可證 02/19 20:06
7F：推 chemmachine : 這一個KKT的題目，用WOLFRAM可解 限制式 02/19 20:09
8F：→ chemmachine : a, b, c, A, B, C >= 0 02/19 20:09
9F：→ chemmachine : a + b + c = A + B + C > 0 02/19 20:09
10F：→ chemmachine : 求證 a^a * b^b * c^c -A^a * B^b * C^c極小值大於 02/19 20:10
11F：推 chemmachine : 0 或a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c>=1 02/19 20:12
12F：→ chemmachine : KKT列出六個變數的GRADIENT 大概可知皆不為0 02/19 20:13
13F：→ chemmachine : 所以討論邊界，邊界在a b c趨近0的地方 02/19 20:14
14F：→ chemmachine : 所以a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c->1 02/19 20:15
15F：→ chemmachine : 先暫時將A B C視為常數，將f對 02/19 20:16
16F：→ chemmachine : a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c 分別對 a b c偏 02/19 20:16
17F：→ chemmachine : 微，可知a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c 02/19 20:17
18F：→ chemmachine : =(a/A)^a*(b/B)^b*(c/C)^c 02/19 20:18
19F：→ chemmachine : a為變數 A 為常數(a/A)^a為形如 (x/costant)^x 02/19 20:19
20F：→ chemmachine : 遞增 原式為三個遞增連乘 故為遞增 所以最小值為1 02/19 20:20
21F：→ chemmachine : 反之 若設A B C 為變數 a b c 為常數 可知為三個遞 02/19 20:21
22F：→ chemmachine : 減相乘 可以得到如上相同的結果 雖設abc或ABC為常數 02/19 20:22
23F：→ chemmachine : 討論之後再讓ABC或abc 任意變化即可 02/19 20:23
24F：推 chemmachine : 更正 這證明有誤 應該不行 (x/a)^x 在0到1之間非遞 02/19 20:35
25F：→ chemmachine : 增 02/19 20:35
26F：推 chemmachine : 喔喔 將f取對數 則logf可計算海森矩陣 為一正定矩陣 02/19 20:43
27F：→ chemmachine : 可證最小值為1 那應該可以證了了 02/19 20:45
28F：→ chemmachine : 取對數f是關鍵才能算海森/黑賽矩陣 02/19 20:45
29F：→ xxxx9659 : 感謝各位大大分享證明的方向！！ 02/19 21:03
30F：→ xxxx9659 : 完全沒聽過海森矩陣跟黑賽矩陣... 02/19 21:03
31F：→ xxxx9659 : 我先去了解這兩個東東，再來證明看看 02/19 21:03
32F：推 chemmachine : 海森 黑賽 是翻譯問題 海森=黑賽=hessian matrix 02/19 21:16
33F：推 Vulpix : 黑斯、赫士都再稍微好一點XD 02/19 21:42