作者xxxx9659 (嘎嘎嘎嘎嘎)
看板Math
标题[代数] 一题证明题
时间Fri Feb 19 12:20:08 2021
刚刚在算数学自己想了一道题目
感觉是对的，但是又证明不出来
来板上问看看有没有高手有证明的想法？
题目：
有六个实数 a, b, c, A, B, C >= 0
而且 a + b + c = A + B + C > 0
试证明 a^a * b^b * c^c >= A^a * B^b * C^c 永远为真
若不是，请举出反例
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1F：→ Poincare : 如果两个变数时的情况是对的 那可以用归纳法证明 02/19 13:43
2F：→ Poincare : 三个变数(也就是你写的)也是对的 02/19 13:43
3F：推 alan23273850: 我猜 1^1 * 3^3 < (0.1)^1 * (3.9)^3 02/19 18:46
4F：→ alan23273850: 欸欸 删除我上一楼推文好了 太白痴了 02/19 18:47
5F：→ chemmachine : 我找到a or b or c一者为0，A B C全不为0 是一个反 02/19 20:05
6F：→ chemmachine : 例 如果承认0^0的话 如果假设abc ABC全不为0 可证 02/19 20:06
7F：推 chemmachine : 这一个KKT的题目，用WOLFRAM可解 限制式 02/19 20:09
8F：→ chemmachine : a, b, c, A, B, C >= 0 02/19 20:09
9F：→ chemmachine : a + b + c = A + B + C > 0 02/19 20:09
10F：→ chemmachine : 求证 a^a * b^b * c^c -A^a * B^b * C^c极小值大於 02/19 20:10
11F：推 chemmachine : 0 或a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c>=1 02/19 20:12
12F：→ chemmachine : KKT列出六个变数的GRADIENT 大概可知皆不为0 02/19 20:13
13F：→ chemmachine : 所以讨论边界，边界在a b c趋近0的地方 02/19 20:14
14F：→ chemmachine : 所以a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c->1 02/19 20:15
15F：→ chemmachine : 先暂时将A B C视为常数，将f对 02/19 20:16
16F：→ chemmachine : a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c 分别对 a b c偏 02/19 20:16
17F：→ chemmachine : 微，可知a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c 02/19 20:17
18F：→ chemmachine : =(a/A)^a*(b/B)^b*(c/C)^c 02/19 20:18
19F：→ chemmachine : a为变数 A 为常数(a/A)^a为形如 (x/costant)^x 02/19 20:19
20F：→ chemmachine : 递增 原式为三个递增连乘 故为递增 所以最小值为1 02/19 20:20
21F：→ chemmachine : 反之 若设A B C 为变数 a b c 为常数 可知为三个递 02/19 20:21
22F：→ chemmachine : 减相乘 可以得到如上相同的结果 虽设abc或ABC为常数 02/19 20:22
23F：→ chemmachine : 讨论之後再让ABC或abc 任意变化即可 02/19 20:23
24F：推 chemmachine : 更正 这证明有误 应该不行 (x/a)^x 在0到1之间非递 02/19 20:35
25F：→ chemmachine : 增 02/19 20:35
26F：推 chemmachine : 喔喔 将f取对数 则logf可计算海森矩阵 为一正定矩阵 02/19 20:43
27F：→ chemmachine : 可证最小值为1 那应该可以证了了 02/19 20:45
28F：→ chemmachine : 取对数f是关键才能算海森/黑赛矩阵 02/19 20:45
29F：→ xxxx9659 : 感谢各位大大分享证明的方向！！ 02/19 21:03
30F：→ xxxx9659 : 完全没听过海森矩阵跟黑赛矩阵... 02/19 21:03
31F：→ xxxx9659 : 我先去了解这两个东东，再来证明看看 02/19 21:03
32F：推 chemmachine : 海森 黑赛 是翻译问题 海森=黑赛=hessian matrix 02/19 21:16
33F：推 Vulpix : 黑斯、赫士都再稍微好一点XD 02/19 21:42