※ 引述《dharma (達)》之銘言： : 下面摘錄講的 : 真的徹底解決了嗎？ : 因為有時看網路上的數學科普文 : 講的好像還有爭議沒定論 : thanks : 《大數學家》p555 : 對於古老問題的絕對肯定和徹底解決往往需要解釋，人們才能消化接受得了。下面是羅素 : 在1901年以於康托爾在無窮問題上普羅米修斯般的貢獻所說的一番話：“芝諾討論了三個 : 問題。…即無窮小，無窮以及連續性。從那時起至今每一代最傑出的學者都輪番對這些問 : 題進行了探索，但概而言之是毫無所獲。…現在維爾斯特拉斯、戴德金以及康托爾已經將 : 它們徹底解決。他們的解決清楚明白，不再有絲毫的難點遺留。這也許是這個時代可以誇 : 耀的最偉大的成就。…無窮小問題由維爾斯特拉斯解決，其它兩個問題的解決由戴德金開 : 始，而爲康托爾圓滿完成。 " 關於無窮小： 羅素之所以認為圓滿解決了，是因為他抱持邏輯(實在)主義的觀點。 對邏輯主義者來說，無窮小根本不存在，只有 epsilon-delta 這種東西。 這種作法的確是可以為現代分析提供一個邏輯主義式的基礎，但並不表示 沒有其他可能性。例如用非標準分析(Non-standard analysis)就可以承認 無窮小的存在並用它來建構分析基礎（我沒仔細看過，只是聽說可以）。 如果你的數學哲學不太一樣，的確有可能會認為這個問題沒有得到很圓滿 的解決。但我想應該不至於否認這問題已經得到一種"合理"的解決。 至於無窮和連續性就比較麻煩一點，因為當代的理解與芝諾的提問可能有 點語意上的落差。從某個角度看，芝諾對於無窮的提問可以說是涉及收斂 性，因此應該算是解決了（在康托之前）。但你也可以說芝諾的悖論其實 是在問時空的連續性（世界是由基本原子組成，還是連續非離散的？）， 這樣好像就不算有圓滿解決，我覺得這應該和康托的理論無關，或者康托 做了一些結果，只是我孤陋寡聞沒聽說過。因為羅素一定很清楚這些東西 ，所以可能要再去看他到底說了什麼，只看《大數學家》這本書可能無法 搞懂。 如果你去看芝諾的第三個悖論，會發現他的第三個悖論講得不是很清楚。 更精確來說，芝諾的悖論是亞里斯多德記錄下來的，而亞里斯多德的重點 是用他的想法來反駁芝諾，他並沒有把芝諾的問題講得很好，所以這方面 也是有臆測的成分，我想沒人可以百分之百確定芝諾的意思。因此可能要 先搞清楚羅素是怎麼理解這個悖論，才知道康托是不是真的解決了。 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.9.35.76 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1612449776.A.3C2.html 我發現 Kline 的 Mathematical thought from ancient to modern times 把芝諾的悖論寫得蠻清楚的，第三章第六節，Eleatic學派那段 。 我提到的不清楚的第三個悖論是書上說的第四個悖論。 （我先前把其中兩個悖論記成同一個，所以以為只有三個。我是直 接看亞里斯多德的物理學。） 至於邏輯主義的部分，可以看 Kline 的另一本書《數學：確定性的失落》。 ※ 編輯: Babbage (140.117.35.197 臺灣), 02/05/2021 17:21:08