※ 引述《dharma (达)》之铭言： : 下面摘录讲的 : 真的彻底解决了吗？ : 因为有时看网路上的数学科普文 : 讲的好像还有争议没定论 : thanks : 《大数学家》p555 : 对於古老问题的绝对肯定和彻底解决往往需要解释，人们才能消化接受得了。下面是罗素 : 在1901年以於康托尔在无穷问题上普罗米修斯般的贡献所说的一番话：“芝诺讨论了三个 : 问题。…即无穷小，无穷以及连续性。从那时起至今每一代最杰出的学者都轮番对这些问 : 题进行了探索，但概而言之是毫无所获。…现在维尔斯特拉斯、戴德金以及康托尔已经将 : 它们彻底解决。他们的解决清楚明白，不再有丝毫的难点遗留。这也许是这个时代可以夸 : 耀的最伟大的成就。…无穷小问题由维尔斯特拉斯解决，其它两个问题的解决由戴德金开 : 始，而爲康托尔圆满完成。 " 关於无穷小： 罗素之所以认为圆满解决了，是因为他抱持逻辑(实在)主义的观点。 对逻辑主义者来说，无穷小根本不存在，只有 epsilon-delta 这种东西。 这种作法的确是可以为现代分析提供一个逻辑主义式的基础，但并不表示 没有其他可能性。例如用非标准分析(Non-standard analysis)就可以承认 无穷小的存在并用它来建构分析基础（我没仔细看过，只是听说可以）。 如果你的数学哲学不太一样，的确有可能会认为这个问题没有得到很圆满 的解决。但我想应该不至於否认这问题已经得到一种"合理"的解决。 至於无穷和连续性就比较麻烦一点，因为当代的理解与芝诺的提问可能有 点语意上的落差。从某个角度看，芝诺对於无穷的提问可以说是涉及收敛 性，因此应该算是解决了（在康托之前）。但你也可以说芝诺的悖论其实 是在问时空的连续性（世界是由基本原子组成，还是连续非离散的？）， 这样好像就不算有圆满解决，我觉得这应该和康托的理论无关，或者康托 做了一些结果，只是我孤陋寡闻没听说过。因为罗素一定很清楚这些东西 ，所以可能要再去看他到底说了什麽，只看《大数学家》这本书可能无法 搞懂。 如果你去看芝诺的第三个悖论，会发现他的第三个悖论讲得不是很清楚。 更精确来说，芝诺的悖论是亚里斯多德记录下来的，而亚里斯多德的重点 是用他的想法来反驳芝诺，他并没有把芝诺的问题讲得很好，所以这方面 也是有臆测的成分，我想没人可以百分之百确定芝诺的意思。因此可能要 先搞清楚罗素是怎麽理解这个悖论，才知道康托是不是真的解决了。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 39.9.35.76 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1612449776.A.3C2.html 我发现 Kline 的 Mathematical thought from ancient to modern times 把芝诺的悖论写得蛮清楚的，第三章第六节，Eleatic学派那段 。 我提到的不清楚的第三个悖论是书上说的第四个悖论。 （我先前把其中两个悖论记成同一个，所以以为只有三个。我是直 接看亚里斯多德的物理学。） 至於逻辑主义的部分，可以看 Kline 的另一本书《数学：确定性的失落》。 ※ 编辑: Babbage (140.117.35.197 台湾), 02/05/2021 17:21:08