作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
標題Re: [中學] n進位的123...(n-1)
時間Sat Jan 30 02:19:30 2021
※ 引述《kilva (嗡嗡)》之銘言：
: 對每個n進位，123...(n-1)的值均為(n^n-n)/(n-1)^2-1
: 例如，
: 2進位時，1_2=1_10=(2^2-2)/(2-1)^2-1 (_n表示以n進位表示)
: 3進位時，12_3=5_10=(3^3-3)/(3-1)^2-1
: 4進位時，123_4=27_10=(4^4-4)/(4-1)^2-1
: ......
: 10進位時，123456789_10=(10^10-10)/(10-1)^2-1
: 請問，這要怎麼證明？
很想噓你，(n^n-n)/(n-1)^2-1的-1是什麼鬼東西？
(n-1)^2-1 = (n-1)^1??
連個括號都不會使用嗎？
這應該是基本小學生都應該具備的數學表達能力吧?!
再不然連個空白鍵隔開兩項有那麼難嗎？
n-1
123...(n-1) = Sigma k n^(n - (k+1))
k = 1
n-1
= [n^(n-1)][Sigma k/(n^k) ]
k = 1
= n^(n-1) [S_(n-1)](n)
n
定義[S_n](a) = Sigma k/(n^k)
k = 1
n
G_n(a) = Sigma (1/a)^k
k = 1
[S_(n-1)](a) = a[[S_n](a) - G_n(a)]
=> (1 - a)[S_n](a) = [n/(a^n)] - aG_n(a)
=> S_n(a) = [1/(1 - a)]{(n/(a^n)) - [(1/a)^(n-1)][(a^n - 1)/(a - 1)]}
自己代回n^(n-1) [S_(n-1)](n)就會得到結果了
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