作者mj813 (薩坨十二惡皆空)
看板Math
標題[中學] 110學測多選第13題
時間Sun Jan 24 10:47:41 2021
fx = x^3+ax^2+bx+c
a,b,c為有理數，選正確的選項。
想請問（4）（5）兩個選項...
（4）存在a,b,c
使得f1,f2,f3,f4依序成等差
（5）存在a,b,c
使得f1,f2,f3,f4依序成等比
該如何判斷與證明對錯呢？感恩！
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※ 編輯: mj813 (118.168.96.82 臺灣), 01/24/2021 10:48:20
1F：→ AnnaOuO : 相減相除看是否有解(?) 01/24 10:52
2F：推 ruj9vul3 : 等差是一次函數 等比是指數函數 看交點個數 01/24 11:08
3F：→ mj813 : 不是交點「個數」問題，是要剛好交在.. 01/24 11:30
4F：推 mantour : (4)代入f2-f1=f3-f2=f4-f3 解a,b,c就知有無限多解 01/24 12:42
5F：推 Vulpix : 4無解啦。5才是無限多解。 01/24 12:46
6F：→ mantour : (5) 令 fx=1/4*[(x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-3)(x-4)+ 01/24 12:49
7F：→ mantour : (x-1)(x-2)(x-4)+(x-1)(x-2)(x-3)] 01/24 12:50
8F：→ mantour : 則f1,f2,f3,f4=-3/2,3/2,-3/2,3/2為等比 01/24 12:51
9F：→ mantour : 對不起 (4) 代入是無解才對 01/24 12:54
10F：→ mantour : 請問(5)除了找特例有沒有其他判斷方式, 直接代入看 01/24 12:56
11F：→ mantour : 不太出來有沒有有理數的解 01/24 12:56
12F：→ mj813 : man兄你代入的數值有誤... 01/24 13:08
13F：推 mantour : 哀 我錯了 01/24 13:10
14F：推 Vulpix : 比值r只要不是1，那首項應該是6/(r-1)^3。 01/24 13:13
15F：推 TimcApple : 考慮 A(1,1), B(2,3), C(3,9), D(4,27) 01/24 13:38
16F：→ TimcApple : 顯然四點不共線, 2(x-1)^2 + 1 只過 ABC 01/24 13:38
17F：→ TimcApple : 因此過 ABCD 的最低次多項式是三次 01/24 13:38
18F：→ TimcApple : 然後把首項係數除掉就得到例子了 01/24 13:38
19F：推 TimcApple : 噢 想到了 差分最快 01/24 13:42
20F：→ TimcApple : 等比的差分還是等比 二次式差分是一次式 01/24 13:42
21F：→ TimcApple : 三點等比 只要比值不是1 就不能是一次式 01/24 13:42
22F：→ TimcApple : 因此四點等比不能是二次式 以此類推 01/24 13:42
23F：推 ruj9vul3 : 一次函數交三次只有三個點 4就false 01/28 20:56
24F：→ ruj9vul3 : 指數函數有機會跟三次交四點 再拉格朗日插值證明存 01/28 20:57
25F：→ ruj9vul3 : 在性 01/28 20:57