作者dharma (達)
看板Math
標題[其他] 選擇公理為什麼需要證明？
時間Fri Jan 8 17:54:02 2021
說到這裏，大家可能已經在抱怨：這不是很明顯嗎？如果你有幾個籃子，每籃內都至少有
一隻雞蛋，我們當然可以在每一個籃子抽一隻雞蛋吧！但是數學中一切命題都需要證明，
這個也不應例外。
...
先說前者，「任意」這個字用於集合論之類的數學基礎時是十分含糊的，數學上不存在一
個明顯的函數f(X)，可以在任何一個非空集合X中準確地抽出一個元素。
http://mathdb.blogspot.com/2008/03/blog-post_20.html
看了幾篇「選擇公理」的文章
還是不懂這個公理為什麼需要證明
求解？
公理 維基百科
在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被
視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明
時，因果關係畢竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且
符合直覺，如「a+b=b+a」。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 107.161.88.23 (美國)
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1F：→ Ricestone : 是因為無法以其他公理證明所以才只能以公理的形式 01/08 18:01
2F：→ Ricestone : 接受它的存在 因為實在太好用了 01/08 18:01
可是好像又有一些爭議
其中如下：
不過，這個爭論依然未完，因為對於這條公理不只是接納和不接納的問題，如果放棄這條
公理，有很多美好且乎合“常理”的結果會同時被放棄；但它實際上又與很多“常理”大
不協調。
其中一個為人熟識的不合乎常理的結果是“巴拿赫─塔斯基悖論”（Banach-Tarski
Paradox），或稱“分球問題”。這個悖論可以說是違反了物理學定律，因為這個悖論說
可以把一個單位球體（半徑為1）分成有限個點集（最少可分成五份），然後通過一些剛
體運動，即旋轉和平移，再重新組合，不過在組合後，竟然成為兩個單位球體，也即是體
積增加了一倍，而這個悖論的證明是必須利用到“選擇公理”的。也就是說，如果我們選
擇接納“選擇公理”，則“巴拿赫─塔斯基悖論”便是一條定理，但現實中有這個可能嗎
？
https://bityl.co/57pv
※ 編輯: dharma (107.161.88.23 美國), 01/08/2021 18:31:01
3F：→ Ricestone : 這不算爭議啊 那些就是看起來不合理卻是正確的而已 01/08 19:03
4F：→ Ricestone : 反過來說就是你覺得選擇公理不該接納，那也不會有這 01/08 19:03
5F：→ Ricestone : 個被俗稱是悖論但實際上是定理的東西而已 01/08 19:04
6F：→ Ricestone : 重點是那個分球問題到底對不對，不是我們現實生活有 01/08 19:11
7F：→ Ricestone : 辦法去判定的，因為分球的方法本身就不可能現實實現 01/08 19:12
8F：→ Ricestone : 所以無從去說應該要對還是不對 01/08 19:12
9F：→ wohtp : 公理沒有對不對，只有合不合用。這裡的問題應該是我 01/09 02:08
10F：→ wohtp : 們不知道選擇公理什麼時候可能不合用，所以拿它來證 01/09 02:08
11F：→ wohtp : 明定理的數學家會怕。 01/09 02:08
12F：推 WINDHEAD : Banach-Tarski 沒有違反物理學定律啊 01/09 16:25
13F：推 WINDHEAD : 嚴格說起來「體積變兩倍是一個錯覺」 01/09 16:34
14F：→ WINDHEAD : 因為切出來的碎片是無法定義體積的，所以體積的可加 01/09 16:35
15F：推 WINDHEAD : 性在此被破壞了。 01/09 16:37
16F：→ WINDHEAD : 選擇公理沒那麼可怕，就跟基改食品標示一樣 01/09 16:38
17F：推 Linethan : 我還沒看Banach-Tarski定理的證明 但我在猜想其根本 01/10 14:14
18F：推 Linethan : 的道理是否和以下論述類似？考慮兩個interval集合 01/10 14:16
19F：→ Linethan : [0,1]和[0,2] 這兩個集合的元素個數(cardinality) 01/10 14:16
20F：→ Linethan : 是一樣多的 因為存在一對一的函數從[0,1]到[0,2] 01/10 14:17
21F：→ Linethan : 比如f(x)=2x 因此我們可以把線段[0,1]變換成[0,2] 01/10 14:18
22F：→ Linethan : 但是以長度來看 [0,2]的長度自然為[0,1]的兩倍 01/10 14:19
23F：→ Linethan : 也就是說從集合的角度來看 [0,1]和[0,2]一樣大 01/10 14:19
24F：→ Linethan : 但以長度來看它們不相同 這和分球問題的道理類似嗎? 01/10 14:20
25F：推 psion : 集合間可以bijective 是否就代表measure一定要相同? 01/10 15:28
26F：推 sunev : Banach-Tarski 有要求isometry 01/10 15:43
27F：推 Vulpix : 我記得分完的球都沒有 measure。 01/11 02:26
28F：推 xavier13540 : 回樓上L大: 分球定理只有旋轉平移 不只是bijection 01/12 13:16