作者dharma (达)
看板Math
标题[其他] 选择公理为什麽需要证明？
时间Fri Jan 8 17:54:02 2021
说到这里，大家可能已经在抱怨：这不是很明显吗？如果你有几个篮子，每篮内都至少有
一只鸡蛋，我们当然可以在每一个篮子抽一只鸡蛋吧！但是数学中一切命题都需要证明，
这个也不应例外。
...
先说前者，「任意」这个字用於集合论之类的数学基础时是十分含糊的，数学上不存在一
个明显的函数f(X)，可以在任何一个非空集合X中准确地抽出一个元素。
http://mathdb.blogspot.com/2008/03/blog-post_20.html
看了几篇「选择公理」的文章
还是不懂这个公理为什麽需要证明
求解？
公理 维基百科
在传统逻辑中，公理是没有经过证明，但被当作不证自明的一个命题。因此，其真实性被
视为是理所当然的，且被当做演绎及推论其他（理论相关）事实的起点。当不断要求证明
时，因果关系毕竟不能无限地追溯，而需停止於无需证明的公理。通常公理都很简单，且
符合直觉，如「a+b=b+a」。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 107.161.88.23 (美国)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1610099644.A.282.html
1F：→ Ricestone : 是因为无法以其他公理证明所以才只能以公理的形式 01/08 18:01
2F：→ Ricestone : 接受它的存在 因为实在太好用了 01/08 18:01
可是好像又有一些争议
其中如下：
不过，这个争论依然未完，因为对於这条公理不只是接纳和不接纳的问题，如果放弃这条
公理，有很多美好且乎合“常理”的结果会同时被放弃；但它实际上又与很多“常理”大
不协调。
其中一个为人熟识的不合乎常理的结果是“巴拿赫─塔斯基悖论”（Banach-Tarski
Paradox），或称“分球问题”。这个悖论可以说是违反了物理学定律，因为这个悖论说
可以把一个单位球体（半径为1）分成有限个点集（最少可分成五份），然後通过一些刚
体运动，即旋转和平移，再重新组合，不过在组合後，竟然成为两个单位球体，也即是体
积增加了一倍，而这个悖论的证明是必须利用到“选择公理”的。也就是说，如果我们选
择接纳“选择公理”，则“巴拿赫─塔斯基悖论”便是一条定理，但现实中有这个可能吗
？
https://bityl.co/57pv
※ 编辑: dharma (107.161.88.23 美国), 01/08/2021 18:31:01
3F：→ Ricestone : 这不算争议啊 那些就是看起来不合理却是正确的而已 01/08 19:03
4F：→ Ricestone : 反过来说就是你觉得选择公理不该接纳，那也不会有这 01/08 19:03
5F：→ Ricestone : 个被俗称是悖论但实际上是定理的东西而已 01/08 19:04
6F：→ Ricestone : 重点是那个分球问题到底对不对，不是我们现实生活有 01/08 19:11
7F：→ Ricestone : 办法去判定的，因为分球的方法本身就不可能现实实现 01/08 19:12
8F：→ Ricestone : 所以无从去说应该要对还是不对 01/08 19:12
9F：→ wohtp : 公理没有对不对，只有合不合用。这里的问题应该是我 01/09 02:08
10F：→ wohtp : 们不知道选择公理什麽时候可能不合用，所以拿它来证 01/09 02:08
11F：→ wohtp : 明定理的数学家会怕。 01/09 02:08
12F：推 WINDHEAD : Banach-Tarski 没有违反物理学定律啊 01/09 16:25
13F：推 WINDHEAD : 严格说起来「体积变两倍是一个错觉」 01/09 16:34
14F：→ WINDHEAD : 因为切出来的碎片是无法定义体积的，所以体积的可加 01/09 16:35
15F：推 WINDHEAD : 性在此被破坏了。 01/09 16:37
16F：→ WINDHEAD : 选择公理没那麽可怕，就跟基改食品标示一样 01/09 16:38
17F：推 Linethan : 我还没看Banach-Tarski定理的证明 但我在猜想其根本 01/10 14:14
18F：推 Linethan : 的道理是否和以下论述类似？考虑两个interval集合 01/10 14:16
19F：→ Linethan : [0,1]和[0,2] 这两个集合的元素个数(cardinality) 01/10 14:16
20F：→ Linethan : 是一样多的 因为存在一对一的函数从[0,1]到[0,2] 01/10 14:17
21F：→ Linethan : 比如f(x)=2x 因此我们可以把线段[0,1]变换成[0,2] 01/10 14:18
22F：→ Linethan : 但是以长度来看 [0,2]的长度自然为[0,1]的两倍 01/10 14:19
23F：→ Linethan : 也就是说从集合的角度来看 [0,1]和[0,2]一样大 01/10 14:19
24F：→ Linethan : 但以长度来看它们不相同 这和分球问题的道理类似吗? 01/10 14:20
25F：推 psion : 集合间可以bijective 是否就代表measure一定要相同? 01/10 15:28
26F：推 sunev : Banach-Tarski 有要求isometry 01/10 15:43
27F：推 Vulpix : 我记得分完的球都没有 measure。 01/11 02:26
28F：推 xavier13540 : 回楼上L大: 分球定理只有旋转平移 不只是bijection 01/12 13:16