作者dharma (達)
看板Math
標題[代數] 包含自然數 但不足以定義自然數？
時間Tue Nov 17 21:31:42 2020
另外，對於一些也很複雜的公理體系，如果其不足以定義自然數，哪怕這樣的公理體系包
含了自然數，也可能不受“哥德爾不完備定理”的約束。比如，塔斯基（Tarski）證明了
實數和複數理論都是一致且完備的一階公理體系，雖然它們都包括了自然數。
https://weiwenku.net/d/109921062
包含自然數
但不足以定義自然數
這是什麼意思？
thanks
--
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1F：→ hwanger : 簡單地說 就是雖然我們的model是實數 但我們只限定 11/17 22:00
2F：→ hwanger : 用一階的語言來描述實數 導致雖然我們的model包含實 11/17 22:02
3F：→ hwanger : 自然數 但僅從公設集是推不出Peano算術系統的 11/17 22:04
4F：→ hwanger : 1. 一個完整的公理體系包含了兩個部份: model和用來 11/17 22:05
5F：→ hwanger : 描述他的語言(wff, 公設集和rules of inference) 11/17 22:07
6F：→ hwanger : 其中公設集是儘可能的搜集我們認為model會符合的"基 11/17 22:08
7F：→ hwanger : 本"特質 11/17 22:09
8F：→ hwanger : 2. 實際上Tarski做的事是找出了Tarski's axioms for 11/17 22:11
9F：→ hwanger : Euclidean geometry 並證明了這套公設集是一階完備 11/17 22:12
10F：→ hwanger : 的 只不過我們可以證Real closed field理論可以等價 11/17 22:13
11F：→ hwanger : 於這套公設集 11/17 22:14
12F：→ hwanger : 3. 要建立一個完整以real numbers為宇集的公理體系 11/17 22:17
13F：→ hwanger : 需要用到二階語言(因為我們需要least upper bound 11/17 22:18
14F：→ hwanger : property) 而closed real field雖然以實數集為宇集 11/17 22:20
15F：→ hwanger : 但公設集的語言卻只限定在一階語言上 所以很多原本 11/17 22:24
16F：→ hwanger : 我們認為實數會有的性質 在closed real field上是推 11/17 22:25
17F：→ hwanger : 不出來的 11/17 22:25
18F：→ hwanger : 4. 我們現在只用一階語言來看closed real field 則 11/17 22:28
19F：→ hwanger : 我們是無法像平常一樣定義inductive set 也就是我們 11/17 22:29
20F：→ hwanger : 無法定義自然數 (例如在Apostol的Mathematical 11/17 22:31
21F：→ hwanger : Analysis中 自然數就是定義成最小的inductive set) 11/17 22:31
22F：→ hwanger : 5. 滿足closed real field的model不只一種(up to 11/17 22:35
23F：→ hwanger : isomorphism) 這其實也證明了least upper bound 11/17 22:36
24F：→ hwanger : property只能用二階語言描述 11/17 22:37
25F：→ hwanger : 6. 雖然closed real field是一階完備, 一致且可有效 11/17 22:40
26F：→ hwanger : 判定公設的公理體系 但因為無法描述least upper 11/17 22:42
27F：→ hwanger : bound property 所以在分析(一個數學分支)上並沒有 11/17 22:43
28F：→ hwanger : 什麼卵用 他的相關研究主要在高等代數中 11/17 22:44
29F：→ hwanger : 上面closed real field是typo 應該是real closed 11/17 22:50
30F：→ hwanger : field才對 抱歉 11/17 22:51
31F：→ hwanger : 7. 再補充一點 以我們對fields的知識 我們其實可以 11/17 23:11
32F：→ hwanger : 看出所有滿足real closed field的model都必然包含自 11/17 23:11
33F：→ hwanger : 然數 11/17 23:12
目前先把推文的重點先背起來
再慢慢仔細弄懂
※ 編輯: dharma (107.161.88.23 美國), 12/10/2020 17:12:03