作者dharma (达)
看板Math
标题[代数] 包含自然数 但不足以定义自然数？
时间Tue Nov 17 21:31:42 2020
另外，对於一些也很复杂的公理体系，如果其不足以定义自然数，哪怕这样的公理体系包
含了自然数，也可能不受“哥德尔不完备定理”的约束。比如，塔斯基（Tarski）证明了
实数和复数理论都是一致且完备的一阶公理体系，虽然它们都包括了自然数。
https://weiwenku.net/d/109921062
包含自然数
但不足以定义自然数
这是什麽意思？
thanks
--
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1F：→ hwanger : 简单地说 就是虽然我们的model是实数 但我们只限定 11/17 22:00
2F：→ hwanger : 用一阶的语言来描述实数 导致虽然我们的model包含实 11/17 22:02
3F：→ hwanger : 自然数 但仅从公设集是推不出Peano算术系统的 11/17 22:04
4F：→ hwanger : 1. 一个完整的公理体系包含了两个部份: model和用来 11/17 22:05
5F：→ hwanger : 描述他的语言(wff, 公设集和rules of inference) 11/17 22:07
6F：→ hwanger : 其中公设集是尽可能的搜集我们认为model会符合的"基 11/17 22:08
7F：→ hwanger : 本"特质 11/17 22:09
8F：→ hwanger : 2. 实际上Tarski做的事是找出了Tarski's axioms for 11/17 22:11
9F：→ hwanger : Euclidean geometry 并证明了这套公设集是一阶完备 11/17 22:12
10F：→ hwanger : 的 只不过我们可以证Real closed field理论可以等价 11/17 22:13
11F：→ hwanger : 於这套公设集 11/17 22:14
12F：→ hwanger : 3. 要建立一个完整以real numbers为宇集的公理体系 11/17 22:17
13F：→ hwanger : 需要用到二阶语言(因为我们需要least upper bound 11/17 22:18
14F：→ hwanger : property) 而closed real field虽然以实数集为宇集 11/17 22:20
15F：→ hwanger : 但公设集的语言却只限定在一阶语言上 所以很多原本 11/17 22:24
16F：→ hwanger : 我们认为实数会有的性质 在closed real field上是推 11/17 22:25
17F：→ hwanger : 不出来的 11/17 22:25
18F：→ hwanger : 4. 我们现在只用一阶语言来看closed real field 则 11/17 22:28
19F：→ hwanger : 我们是无法像平常一样定义inductive set 也就是我们 11/17 22:29
20F：→ hwanger : 无法定义自然数 (例如在Apostol的Mathematical 11/17 22:31
21F：→ hwanger : Analysis中 自然数就是定义成最小的inductive set) 11/17 22:31
22F：→ hwanger : 5. 满足closed real field的model不只一种(up to 11/17 22:35
23F：→ hwanger : isomorphism) 这其实也证明了least upper bound 11/17 22:36
24F：→ hwanger : property只能用二阶语言描述 11/17 22:37
25F：→ hwanger : 6. 虽然closed real field是一阶完备, 一致且可有效 11/17 22:40
26F：→ hwanger : 判定公设的公理体系 但因为无法描述least upper 11/17 22:42
27F：→ hwanger : bound property 所以在分析(一个数学分支)上并没有 11/17 22:43
28F：→ hwanger : 什麽卵用 他的相关研究主要在高等代数中 11/17 22:44
29F：→ hwanger : 上面closed real field是typo 应该是real closed 11/17 22:50
30F：→ hwanger : field才对 抱歉 11/17 22:51
31F：→ hwanger : 7. 再补充一点 以我们对fields的知识 我们其实可以 11/17 23:11
32F：→ hwanger : 看出所有满足real closed field的model都必然包含自 11/17 23:11
33F：→ hwanger : 然数 11/17 23:12
目前先把推文的重点先背起来
再慢慢仔细弄懂
※ 编辑: dharma (107.161.88.23 美国), 12/10/2020 17:12:03