作者algebraic (algebraic)
看板Math
標題[中學] 2^n+2^8+1=x^2 的正整數解
時間Tue Nov 17 19:39:04 2020
如題
已知 2^n + 2^8 + 1 = x^2 的正整數解有兩組
n = 5 時，x = 2^4+1
n = 14 時，x = 2^7+1
我想請問要怎麼證明只有這兩組解?
n為偶數的時候我有想法，而且也證的出來
n為奇數時我實在是不知道該怎麼做
或許很簡單，只是我沒看到那條路而已?
有什麼想法還煩請各位指教了
謝謝!
有沒有正整數解的八卦?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.195.202 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1605613146.A.F18.html
1F：推 vectorlog : x=a+1, 第一種a^2=2^n , 第二種a^2=2^8 11/17 20:44
2F：→ vectorlog : 假設x=a+1啦~ 11/17 20:45
3F：→ hwanger : 不是很懂為何a^2+2*a=2^n+2^8可以推到 a^2=2^n 或 11/17 21:58
4F：→ hwanger : a^2=2^8這兩個式子 11/17 21:58
5F：推 GaussQQ : 這之前有人問過等價的問題，沒人解出 11/17 21:59
7F：→ GaussQQ : tml 11/17 22:00
我的題目來源跟網址內的題目來源，應該是同一個沒錯
只是我把題目做了一些變換，才丟上來問的
不過沒想到的是，原來那時候大家也沒有解出來
我想原出題者應該自己也沒有注意到，怎麼證只有這兩個解吧
總之我大概知道，這似乎是一個很non-trivial的問題了
只能說數論就是這樣吧!
9F：→ Starvilo : 不知這樣算不算@@ 11/17 22:06
10F：推 MisatoMitumi: 樓上是對的 11/17 22:34
11F：→ MisatoMitumi: 等等，不是，因為2^(n-8)+1還可以分解 11/17 22:35
12F：→ MisatoMitumi: 所以有機會K=2^8*P, L=Q, PQ=2^(n-8)+1 11/17 22:35
13F：推 Starvilo : 2數差1 11/17 22:37
14F：噓 MisatoMitumi: K偶L奇，所以還是有機會的。2^m+1這種東西因數常常 11/17 22:45
15F：→ MisatoMitumi: 還滿多的 11/17 22:45
16F：推 MisatoMitumi: 誤噓抱歉 11/17 22:48
※ 編輯: algebraic (220.136.195.202 臺灣), 11/17/2020 22:58:16
17F：→ cmrafsts : 只用模2的power做不出來，因為有hensel lemma 11/18 00:18
18F：推 TimcApple : n = 2k+1, 設 y = 2^k 會有 257 = x^2 - 2y^2 11/18 05:18
19F：→ TimcApple : 可解得 (x,y) = T^m (17, +-4) 11/18 05:18
20F：→ TimcApple : T = [[3,4],[2,3]], pell's equation 的解 11/18 05:19
21F：→ TimcApple : 然而沒法確定 y 是不是 2-power 11/18 05:19
22F：→ TimcApple : 同樣是因為 hensel lemma 的問題 11/18 05:20
24F：→ fragmentwing: 不知道這樣可不可行 11/18 11:08
25F：→ fragmentwing: 啊啊 不行 沒有偶數一定是2的次方的保證 11/18 11:10
26F：推 Starvilo : 與IMO2006Q4很像 11/20 22:32
28F：→ algebraic : 我用他的方法 套不進這一題QQ 11/21 03:26