作者algebraic (algebraic)
看板Math
标题[中学] 2^n+2^8+1=x^2 的正整数解
时间Tue Nov 17 19:39:04 2020
如题
已知 2^n + 2^8 + 1 = x^2 的正整数解有两组
n = 5 时，x = 2^4+1
n = 14 时，x = 2^7+1
我想请问要怎麽证明只有这两组解?
n为偶数的时候我有想法，而且也证的出来
n为奇数时我实在是不知道该怎麽做
或许很简单，只是我没看到那条路而已?
有什麽想法还烦请各位指教了
谢谢!
有没有正整数解的八卦?
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 220.136.195.202 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1605613146.A.F18.html
1F：推 vectorlog : x=a+1, 第一种a^2=2^n , 第二种a^2=2^8 11/17 20:44
2F：→ vectorlog : 假设x=a+1啦~ 11/17 20:45
3F：→ hwanger : 不是很懂为何a^2+2*a=2^n+2^8可以推到 a^2=2^n 或 11/17 21:58
4F：→ hwanger : a^2=2^8这两个式子 11/17 21:58
5F：推 GaussQQ : 这之前有人问过等价的问题，没人解出 11/17 21:59
7F：→ GaussQQ : tml 11/17 22:00
我的题目来源跟网址内的题目来源，应该是同一个没错
只是我把题目做了一些变换，才丢上来问的
不过没想到的是，原来那时候大家也没有解出来
我想原出题者应该自己也没有注意到，怎麽证只有这两个解吧
总之我大概知道，这似乎是一个很non-trivial的问题了
只能说数论就是这样吧!
9F：→ Starvilo : 不知这样算不算@@ 11/17 22:06
10F：推 MisatoMitumi: 楼上是对的 11/17 22:34
11F：→ MisatoMitumi: 等等，不是，因为2^(n-8)+1还可以分解 11/17 22:35
12F：→ MisatoMitumi: 所以有机会K=2^8*P, L=Q, PQ=2^(n-8)+1 11/17 22:35
13F：推 Starvilo : 2数差1 11/17 22:37
14F：嘘 MisatoMitumi: K偶L奇，所以还是有机会的。2^m+1这种东西因数常常 11/17 22:45
15F：→ MisatoMitumi: 还满多的 11/17 22:45
16F：推 MisatoMitumi: 误嘘抱歉 11/17 22:48
※ 编辑: algebraic (220.136.195.202 台湾), 11/17/2020 22:58:16
17F：→ cmrafsts : 只用模2的power做不出来，因为有hensel lemma 11/18 00:18
18F：推 TimcApple : n = 2k+1, 设 y = 2^k 会有 257 = x^2 - 2y^2 11/18 05:18
19F：→ TimcApple : 可解得 (x,y) = T^m (17, +-4) 11/18 05:18
20F：→ TimcApple : T = [[3,4],[2,3]], pell's equation 的解 11/18 05:19
21F：→ TimcApple : 然而没法确定 y 是不是 2-power 11/18 05:19
22F：→ TimcApple : 同样是因为 hensel lemma 的问题 11/18 05:20
24F：→ fragmentwing: 不知道这样可不可行 11/18 11:08
25F：→ fragmentwing: 啊啊 不行 没有偶数一定是2的次方的保证 11/18 11:10
26F：推 Starvilo : 与IMO2006Q4很像 11/20 22:32
28F：→ algebraic : 我用他的方法 套不进这一题QQ 11/21 03:26