作者Dodoroiscute (再想想)
看板Math
標題[其他] 一加一等於二，這是數學領域的真理吧?
時間Tue Nov 10 21:32:27 2020
一加一等於二
這是數學領域的真理
如果有人說一加一會大於二
或是一加一不等於二
應該就是數學領域以外的話術
而不是算數
從前有個小學生
在課堂上反駁老師
這學生說 如果是採用二進制 那麼一加一就不等於二
結果這樣的回答讓老師和家長都覺得這小孩是天才
但我覺得那些大人都被那小聰明給唬了
因為就算用二進制 01+01=10
二進制的10轉換成十進制 還是等於2
但是因為當時沒人吐槽那個小學生
他到長大還是被認為天才
哀
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.217.189.45 (臺灣)
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1F：→ ERT312 : Z_2 field 是數學領域以外的話術嗎? 11/10 21:47
我不懂Z2
2F：→ TimcApple : 不是真理 是定理 1+1=2 的前提是皮亞諾公設 11/10 21:52
3F：→ TimcApple : 不然就跟上面的 Z2 一樣掛掉 11/10 21:52
※ 編輯: Dodoroiscute (180.217.189.45 臺灣), 11/10/2020 21:59:49
4F：→ TimcApple : Z2 可以視為只有 1 (True), 0 (False) 兩個數字 11/10 22:07
5F：→ TimcApple : 加法是 XOR, 乘法是 AND 11/10 22:07
6F：→ TimcApple : 此時 1+1 = 0 11/10 22:08
這個好像以前修過的數位邏輯 但是我忘了差不多
7F：→ TimcApple : 把加法改成 OR 會變成布林代數 此時 1+1 = 1 11/10 22:08
8F：推 Vulpix : 我同意其實都是2。即使是0，也還是與2等效。當然我 11/10 22:23
9F：→ Vulpix : 們可以重新定義加法和乘法，不過這樣有點賴皮了。 11/10 22:23
這樣會沒完沒了...
※ 編輯: Dodoroiscute (180.217.189.45 臺灣), 11/10/2020 22:44:28
10F：→ hwanger : 我想你所說的1+1=2並不是拘泥於文字表象的式子 而是 11/11 00:39
11F：→ hwanger : 真的有關自然數本身的內在性質 11/11 00:39
12F：→ hwanger : 首先先澄清幾件事 11/11 00:40
13F：→ hwanger : 第一 Peano axioms並不是用來定義自然數是什麼的 他 11/11 00:40
14F：→ hwanger : 只能用來描述自然數該有什麼樣子 自然數本身的存在 11/11 00:41
15F：→ hwanger : 是先於描述他的公設集 不管自然數本身是不是先驗存 11/11 00:41
16F：→ hwanger : 在的 11/11 00:42
17F：→ hwanger : (簡單的說 若自然數可以用Peano axioms來定義的 那 11/11 00:42
18F：→ hwanger : 我們也不用苦惱於不完備定理 反正真理就是有缺陷的) 11/11 00:43
19F：→ hwanger : 第二 就算自然數是用Peano axioms來定義的 如果我們 11/11 00:44
20F：→ hwanger : 認為Peano axioms及其隨後所用的logic是真理 那推出 11/11 00:44
21F：→ hwanger : 來的東西自然也是真理 11/11 00:44
22F：→ hwanger : 第三 假設我們認知自然數是先驗存在的 那"1+1=2"這 11/11 00:46
23F：→ hwanger : 個式子就只是用來借代自然數某些性質的語言罷了 任 11/11 00:46
24F：→ hwanger : 何在其他體系的1+1等於多少的敘述其實都和我們考慮 11/11 00:46
25F：→ hwanger : 自然數的情況無關 11/11 00:47
26F：→ hwanger : 而至於1+1=2(用來描述自然數性質的式子)是不是真理 11/11 00:48
27F：→ hwanger : 就我的觀點是尚且無法論證 因為我們並不知道真理是 11/11 00:48
28F：→ hwanger : 什麼 具有什麼形式 該有什麼意涵 11/11 00:49
29F：→ hwanger : 最多最多我只能說1+1=2是一個廣泛被認知到的事情 如 11/11 00:50
30F：→ hwanger : 此而已 11/11 00:51
31F：→ hwanger : 總結來說 如果只是將1+1視作兩個運算元和一個運算子 11/11 01:00
32F：→ hwanger : 那不管擺在哪個體系講 都終究只是形式上的語言 不太 11/11 01:02
33F：→ hwanger : 有任何意義 而如果是將1+1=2視作一個自然數的某一性 11/11 01:03
34F：→ hwanger : 質的描述 那的確可以開始考慮其是否為真理 11/11 01:04
35F：推 kilva : 1+1=2=0(mod 2)在Z_2裡是成立的 11/11 07:42
36F：→ kilva : 商群裡等價的元素沒有必要取最小的 11/11 07:46
37F：→ kilva : 我們也可以說5+5=6(mod2) inZ_2 11/11 07:46
38F：→ kilva : 所以1+1=2在Z_2裡似乎不會掛掉 11/11 07:48
39F：推 giraffe1021 : 真理這個詞有點怪怪的，如2樓T大說的用定理比較好 11/11 13:33
40F：→ giraffe1021 : 這是因為其實數學公設並非所有數學家都可接受（像 11/11 13:33
41F：→ giraffe1021 : 是最有名的axiom of choice ），到最後其實會發現 11/11 13:33
42F：→ giraffe1021 : 由於公設的特性，數學這領域會變成一種信仰，而推 11/11 13:33
43F：→ giraffe1021 : 導出來的定理正確性也仰賴於你相不相信那些公設了 11/11 13:33
44F：→ TimcApple : 是的 由於有人不相信無限大的存在 甚至認為太大的 11/11 17:55
45F：→ TimcApple : 數字是不存在的（例如超過 2^(宇宙原子數目) ） 11/11 17:55
46F：→ TimcApple : 不是所有人都能接受皮亞諾公設和自然數 11/11 17:55
47F：→ TimcApple : 至於連 1+1=2 都不相信的奇葩 我就不確定有沒有了 11/11 17:55
48F：→ wohtp : 數學的本質是沒有「內容」的文字邏輯遊戲。公設沒有 11/11 18:01
49F：→ wohtp : 對與錯，只有合不合用。 11/11 18:01
50F：→ wohtp : 就像螺絲起子，十字頭轉不動一字螺絲不是起子的錯， 11/11 18:01
51F：→ wohtp : 是你自己拿錯。 11/11 18:01
52F：→ wohtp : 認清楚這點就沒有信仰問題。如果覺得公設必須暗合某 11/11 18:01
53F：→ wohtp : 種宇宙真理，那才是信仰。 11/11 18:01
54F：→ wohtp : 不過在講公設之前…2只是1+1的另一個名字罷了。1+1 11/11 18:21
55F：→ wohtp : 不可能不等於自己，你最多就質疑2可能不存在吧。但 11/11 18:21
56F：→ wohtp : 是沒有加法又不會怎樣… 11/11 18:21
57F：→ TimcApple : 不太一樣 Peano Axiom 中的 2 是 1 的繼承數 11/11 18:24
58F：→ TimcApple : 所以說 1+1=2 是(可被證明的)定理 11/11 18:24
59F：→ TimcApple : 而不是說 2=1+1 是 2 的定義ow o 11/11 18:24
60F：→ hwanger : 不是很重要 只是對我前述第一點的補充 11/11 21:03
61F：→ hwanger : 一個"實體"和"描述這個實體的語言"是不一樣的事情 11/11 21:03
62F：→ hwanger : 這就像這個宇宙的存在 並不是因我們用經典力學 量子 11/11 21:04
63F：→ hwanger : 力學或相對論來描述來保證(當然這個宇宙是不是因我 11/11 21:04
64F：→ hwanger : 們的感知才存在這仍然是懸而未解的自然哲學題目) 11/11 21:04
65F：→ hwanger : 同樣地在數理邏輯中 model的存在並不是依賴於你依 11/11 21:05
66F：→ hwanger : model所刻劃的公設集及邏輯系統而定的 11/11 21:05
67F：→ hwanger : 而自然數不管是被認為成一種可遞迴、無限集的先驗存 11/11 21:06
68F：→ hwanger : 在 或者一種cardinal numbers 或者一種ordinal 11/11 21:06
69F：→ hwanger : number 其存在性是被我們廣泛認知到的 而不是用 11/11 21:06
70F：→ hwanger : Peano axioms來保證的 我們也不是透過信仰Peano 11/11 21:07
71F：→ hwanger : axioms來確定自然數存在的 11/11 21:07
72F：→ hwanger : 如果數學的本質是沒有內容的文字遊戲 那同樣地所有 11/11 21:07
73F：→ hwanger : 自然哲學的分支都是 因為我們都是試圖用人類的"語言 11/11 21:09
74F：→ hwanger : (這裡不是指中文 英文這種東西 而是語言的概念)"企 11/11 21:09
75F：→ hwanger : 圖去描述我們所認知的存在的實體 11/11 21:09
76F：→ hwanger : (這裡其實對應到Einstein的一句話 "The most 11/11 21:12
77F：→ hwanger : incomprehensible thing about the universe is 11/11 21:12
78F：→ hwanger : that it is comprehensible") 11/11 21:13
79F：→ hwanger : 而就像"有質量的物體之間存在某種東西"是對宇宙一個 11/11 21:15
80F：→ hwanger : 性質的描述一樣 "1+1=2"也是對"自然數"這個實體的一 11/11 21:15
81F：→ hwanger : 個性質的描述 11/11 21:15
82F：→ hwanger : 而就像"有質量的物體之間存在某種東西"可以被其他更 11/11 21:20
83F：→ hwanger : 基本的物理定律來推導一樣 "1+1=2"可以被人為的公設 11/11 21:21
84F：→ hwanger : 所推導 但這些畢竟都是人為試圖簡約的結果 這兩個性 11/11 21:24
85F：→ hwanger : 質在各自存在的實體中 是不是"被推導出來的"仍是我 11/11 21:25
86F：→ hwanger : 們無法判斷的問題 11/11 21:25
87F：→ hwanger : 當然"自然數"的存在性本身就是一個哲學問題 畢竟他 11/11 21:34
88F：→ hwanger : 很難用我們的"感官"察覺出來 而這也是一些偉大的自 11/11 21:35
89F：→ hwanger : 然哲學家試圖解決的問題 11/11 21:36
90F：→ hwanger : 而那些對"自然數的存在性"持有保留態度的人 仍然是 11/11 21:42
91F：→ hwanger : 可以用Peano axioms做形式上的推導 畢竟這就只是一 11/11 21:44
92F：→ hwanger : 個一致的邏輯系統 部份的人是質疑自然數的存在性 但 11/11 21:45
93F：→ hwanger : 這之中更多的人是質疑Peano axioms是否真的描述了自 11/11 21:46
94F：→ hwanger : 然數但並不質疑自然數的存在 11/11 21:47
95F：→ hwanger : 而更多的是偏實用主義的 反正我就有一個一致的邏輯 11/11 22:00
96F：→ hwanger : 系統了 反正用就對了 11/11 22:02
97F：推 Vulpix : 自然數本來就不存在於形而下的世界，而是一種形而上 11/11 22:08
98F：→ Vulpix : 的東西，就存在於我們的心中。 11/11 22:08
99F：→ hwanger : 但不管怎樣 把數學的本質等同於邏輯的形式推衍 這個 11/11 22:08
100F：→ hwanger : 觀點本身是有點問題的 11/11 22:09
102F：→ hwanger : 如V大所述 所以"自然數的存在性"才會變成一個形而上 11/11 22:10
103F：→ hwanger : 的問題 11/11 22:11
104F：→ hwanger : ...初音只是個軟體... 11/11 22:12
105F：→ wohtp : 數學上所有的存在性到最後都要靠公設撐著不是嗎？ 11/12 04:13
106F：→ wohtp : 「反正某個東西就是存在嘛，不爽咬我啊！」 11/12 04:13
107F：→ wohtp : 公設在數學和邏輯底下無法驗證，也本來就不該有什麼 11/12 04:13
108F：→ wohtp : 驗證公設這回事。但是要拿一個不能驗證的東西，說它 11/12 04:13
109F：→ wohtp : 是宇宙真理，這就真的只能說是宗教信仰了。 11/12 04:13
110F：→ wohtp : 我記得樓上h大不久前才嗆我說宇宙存不存在跟物理學 11/12 04:13
111F：→ wohtp : 怎麼看無關呢。宇宙存不存在跟人類發明的數學語言不 11/12 04:13
112F：→ wohtp : 就更加無關？ 11/12 04:13
113F：推 Vulpix : 其實我看不懂你們那一串，太長了…… 11/12 04:18
114F：→ wohtp : 人類確定自己手上的螺絲起子跟上帝用的一樣是十字頭 11/12 04:32
115F：→ wohtp : 就很夠了。想一路上綱到說這是同一把起子？還是洗洗 11/12 04:32
116F：→ wohtp : 睡吧。 11/12 04:32
117F：→ hwanger : 第一 自然數的存在性雖然我們不清楚是不是這宇宙的 11/12 08:40
118F：→ hwanger : 一部份 但自然數的存在性的確先於用於描述他的公設 11/12 08:40
119F：→ hwanger : 集及邏輯系統(例如Peano axioms) 這部份才是對應到 11/12 08:40
120F：→ hwanger : 宇宙的存在先於描述他的物理學 11/12 08:41
121F：→ hwanger : 第二 我從來就沒把公設集當作真理看待 我之前論述的 11/12 08:41
122F：→ hwanger : 第二點是為了戳破那些把Peano axioms就當作是自然數 11/12 08:41
123F：→ hwanger : 的人的美好幻想 但我在那之前是有第一點的 11/12 08:42
124F：→ hwanger : 而正如我之前論述的第一點所提到的 人類的邏輯系統 11/12 08:42
125F：→ hwanger : 是有缺陷的 那我們就更不可能將Peano axioms視作真 11/12 08:43
126F：→ hwanger : 理 或視作自然數的代名詞 11/12 08:44
127F：→ hwanger : 第三 現時的數學和物理學都是偏實用主義的 也都企圖 11/12 08:44
128F：→ hwanger : 用人類的語言去描述人類所認知的實體 而"數理邏輯" 11/12 08:45
129F：→ hwanger : 和"物理的公式"就是你口中的螺絲起子 我們用螺絲起 11/12 08:45
130F：→ hwanger : 子就可以做很多事 但你既自封為物理人 當然知道物理 11/12 08:45
131F：→ hwanger : 學是擁有更多哲學意涵的 同樣地數學本身也不是單純 11/12 08:46
132F：→ hwanger : 的"公設集及其邏輯系統" 數學本身也蘊藏大量哲學意 11/12 08:46
133F：→ hwanger : 涵 所以我們才有辦法"選擇相信什麼 不相信什麼" 就 11/12 08:46
134F：→ hwanger : 像Einstein"不相信"上帝會擲骰子一樣 11/12 08:46
135F：→ hwanger : 你的數學只到實用主義的部份 就認為數學的全部就這 11/12 08:47
136F：→ hwanger : 樣了 就跟那些認為物理就只是一堆公式的集合的人的 11/12 08:47
137F：→ hwanger : 想法是一樣的 11/12 08:47
138F：→ hwanger : 第四 自然數不是人造的語言 他也是有被其他生物認知 11/12 08:48
139F：→ hwanger : 到的(一些較高等的動物至少已經可以區別1和2) 是已 11/12 08:49
140F：→ hwanger : 經有實驗證明的 宇宙的存在和自然數的存在都是形而 11/12 08:49
141F：→ hwanger : 上的問題 而我採取的態度是兩者都是存在的 不管人類 11/12 08:49
142F：→ hwanger : 有沒有意識到這兩者的存在 所以宇宙不會因有沒有物 11/12 08:50
143F：→ hwanger : 理學而有時存在有時不存在 並且自然數也不會因有沒 11/12 08:50
144F：→ hwanger : 有Peano axioms而有時存在 有時不存在 11/12 08:50
145F：→ hwanger : 第五 如我之前所述 我認為人類還沒有發展到可以知道 11/12 08:51
146F：→ hwanger : "真理是什麼 該有什麼形式 具有什麼意涵"的地步 所 11/12 08:52
147F：→ hwanger : 以"人類可能可以理解這個宇宙(也就是物理學)"和 11/12 08:52
148F：→ hwanger : "1+1=2"對我而言是一樣的 都是廣泛被認知到的事而已 11/12 08:52
149F：→ hwanger : 不要說的好像我在判斷什麼該是真理 什麼不該是真理 11/12 08:53
150F：→ hwanger : 一樣 11/12 08:53
151F：→ hwanger : "「反正某個東西就是存在嘛，不...">>>你可能遇到很 11/12 08:56
152F：推 TaiwanFight : 看來台灣數學教育改革已經體現出成果了 11/12 08:56
153F：→ hwanger : 多偏實用主義的人是持這個態度在看數學的 但很可惜 11/12 08:56
154F：→ TaiwanFight : 不愧是台灣島 近年來不斷的進步 11/12 08:56
155F：→ hwanger : 我不是 還是你認為我講這麼多東西是在附和其他人? 11/12 08:56
156F：→ TaiwanFight : 真心棒 11/12 08:57
157F：→ hwanger : "人類確定自己手上的螺絲起子...">>>我對"用Peano 11/12 08:57
158F：→ hwanger : axioms研究自然數"和"用物理學研究宇宙"是持一樣的 11/12 08:57
159F：→ hwanger : 度 就是如我之前所述 "實體"和"描述這個實體的語言" 11/12 08:58
160F：→ hwanger : 的區別 你為何會有"我在無限上綱我們用的語言是真理 11/12 08:58
161F：→ hwanger : "這個幻覺 是在睡覺中夢到的嗎? 11/12 08:58
162F：推 TimcApple : 我覺得 Peano Axioms 當成自然數很好啊ow o 11/12 19:56
163F：→ TimcApple : 倒不如說 不這樣當很奇怪 除非不相信無限 11/12 19:57
164F：→ TimcApple : 你的論點像是 Peano Axiom 只是一種描述 11/12 19:58
165F：→ TimcApple : 描述那個宇宙中存在的那個「自然數」 11/12 19:59
166F：→ TimcApple : 可是光是存在於那邊是不夠的 你總要給個描述 11/12 19:59
167F：→ TimcApple : 只要開始描述 就和 Peano Axioms 脱不了關係了 11/12 20:00
168F：→ TimcApple : 在人類有個更好的方式描述「自然數」之前 11/12 20:04
169F：→ TimcApple : Peano Axiom 就是最好的描述 11/12 20:04
170F：→ TimcApple : 這樣的情況下 不管原本是不是 11/12 20:04
171F：→ TimcApple : Peano Axiom 截至目前為止 就可以視為自然數 11/12 20:04
172F：→ TimcApple : 一如歷史上 沒見識過日蝕的人 將日蝕視為神蹟 11/12 20:05
173F：→ TimcApple : 那麼神蹟就是存在的 即使它是教會的誇大宣傳 11/12 20:06
174F：→ TimcApple : 噢 還有另一個例子 11/12 20:12
175F：→ TimcApple : 你想說的大概是 pointer 和 object 的差別 11/12 20:12
176F：→ TimcApple : 但很多時候這兩個東西其實是沒差的 11/12 20:12
177F：→ TimcApple : 特別是 object 本身是虛擬的時候ow o 11/12 20:12
178F：→ TimcApple : 數學中的 characterization 就是這樣的想法 11/12 20:13
179F：→ hwanger : T大你說的沒錯 我們可能無法脫離Peano axioms來描述 11/12 21:51
180F：→ hwanger : 自然數 在實務上也不必作區分 但既然我們現在是問更 11/12 21:52
181F：→ hwanger : 基本的哲學意涵 本來就有區分"實體"和"描述實體的語 11/12 21:53
182F：→ hwanger : 言"的必要 因為這兩者的哲學意涵完全不同 11/12 21:55
183F：→ hwanger : 另外不是很重要 你想說的應該是reference和object的 11/12 21:57
184F：→ hwanger : 差別吧 畢竟pointer是需要取值運算子的 11/12 21:59
185F：→ hwanger : 但不管如何他們終究是不同的概念 只是實務上有時不 11/12 22:00
186F：→ hwanger : 需要區別而已 11/12 22:00
187F：→ hwanger : 而另外我不是很明白你說的characterization是指什麼 11/12 22:04
189F：→ hwanger : 我所認知的characterization是如上面wiki所述的 是 11/12 22:06
190F：→ hwanger : 一種在邏輯體系內的操作 這和將model公設化的過程是 11/12 22:06
191F：→ hwanger : 不太一樣的 11/12 22:07
192F：→ hwanger : 然後我不是很懂日蝕的例子是想表達什麼 11/12 22:19