作者Dodoroiscute (再想想)
看板Math
标题[其他] 一加一等於二，这是数学领域的真理吧?
时间Tue Nov 10 21:32:27 2020
一加一等於二
这是数学领域的真理
如果有人说一加一会大於二
或是一加一不等於二
应该就是数学领域以外的话术
而不是算数
从前有个小学生
在课堂上反驳老师
这学生说 如果是采用二进制 那麽一加一就不等於二
结果这样的回答让老师和家长都觉得这小孩是天才
但我觉得那些大人都被那小聪明给唬了
因为就算用二进制 01+01=10
二进制的10转换成十进制 还是等於2
但是因为当时没人吐槽那个小学生
他到长大还是被认为天才
哀
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 180.217.189.45 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1605015149.A.F7A.html
1F：→ ERT312 : Z_2 field 是数学领域以外的话术吗? 11/10 21:47
我不懂Z2
2F：→ TimcApple : 不是真理 是定理 1+1=2 的前提是皮亚诺公设 11/10 21:52
3F：→ TimcApple : 不然就跟上面的 Z2 一样挂掉 11/10 21:52
※ 编辑: Dodoroiscute (180.217.189.45 台湾), 11/10/2020 21:59:49
4F：→ TimcApple : Z2 可以视为只有 1 (True), 0 (False) 两个数字 11/10 22:07
5F：→ TimcApple : 加法是 XOR, 乘法是 AND 11/10 22:07
6F：→ TimcApple : 此时 1+1 = 0 11/10 22:08
这个好像以前修过的数位逻辑 但是我忘了差不多
7F：→ TimcApple : 把加法改成 OR 会变成布林代数 此时 1+1 = 1 11/10 22:08
8F：推 Vulpix : 我同意其实都是2。即使是0，也还是与2等效。当然我 11/10 22:23
9F：→ Vulpix : 们可以重新定义加法和乘法，不过这样有点赖皮了。 11/10 22:23
这样会没完没了...
※ 编辑: Dodoroiscute (180.217.189.45 台湾), 11/10/2020 22:44:28
10F：→ hwanger : 我想你所说的1+1=2并不是拘泥於文字表象的式子 而是 11/11 00:39
11F：→ hwanger : 真的有关自然数本身的内在性质 11/11 00:39
12F：→ hwanger : 首先先澄清几件事 11/11 00:40
13F：→ hwanger : 第一 Peano axioms并不是用来定义自然数是什麽的 他 11/11 00:40
14F：→ hwanger : 只能用来描述自然数该有什麽样子 自然数本身的存在 11/11 00:41
15F：→ hwanger : 是先於描述他的公设集 不管自然数本身是不是先验存 11/11 00:41
16F：→ hwanger : 在的 11/11 00:42
17F：→ hwanger : (简单的说 若自然数可以用Peano axioms来定义的 那 11/11 00:42
18F：→ hwanger : 我们也不用苦恼於不完备定理 反正真理就是有缺陷的) 11/11 00:43
19F：→ hwanger : 第二 就算自然数是用Peano axioms来定义的 如果我们 11/11 00:44
20F：→ hwanger : 认为Peano axioms及其随後所用的logic是真理 那推出 11/11 00:44
21F：→ hwanger : 来的东西自然也是真理 11/11 00:44
22F：→ hwanger : 第三 假设我们认知自然数是先验存在的 那"1+1=2"这 11/11 00:46
23F：→ hwanger : 个式子就只是用来借代自然数某些性质的语言罢了 任 11/11 00:46
24F：→ hwanger : 何在其他体系的1+1等於多少的叙述其实都和我们考虑 11/11 00:46
25F：→ hwanger : 自然数的情况无关 11/11 00:47
26F：→ hwanger : 而至於1+1=2(用来描述自然数性质的式子)是不是真理 11/11 00:48
27F：→ hwanger : 就我的观点是尚且无法论证 因为我们并不知道真理是 11/11 00:48
28F：→ hwanger : 什麽 具有什麽形式 该有什麽意涵 11/11 00:49
29F：→ hwanger : 最多最多我只能说1+1=2是一个广泛被认知到的事情 如 11/11 00:50
30F：→ hwanger : 此而已 11/11 00:51
31F：→ hwanger : 总结来说 如果只是将1+1视作两个运算元和一个运算子 11/11 01:00
32F：→ hwanger : 那不管摆在哪个体系讲 都终究只是形式上的语言 不太 11/11 01:02
33F：→ hwanger : 有任何意义 而如果是将1+1=2视作一个自然数的某一性 11/11 01:03
34F：→ hwanger : 质的描述 那的确可以开始考虑其是否为真理 11/11 01:04
35F：推 kilva : 1+1=2=0(mod 2)在Z_2里是成立的 11/11 07:42
36F：→ kilva : 商群里等价的元素没有必要取最小的 11/11 07:46
37F：→ kilva : 我们也可以说5+5=6(mod2) inZ_2 11/11 07:46
38F：→ kilva : 所以1+1=2在Z_2里似乎不会挂掉 11/11 07:48
39F：推 giraffe1021 : 真理这个词有点怪怪的，如2楼T大说的用定理比较好 11/11 13:33
40F：→ giraffe1021 : 这是因为其实数学公设并非所有数学家都可接受（像 11/11 13:33
41F：→ giraffe1021 : 是最有名的axiom of choice ），到最後其实会发现 11/11 13:33
42F：→ giraffe1021 : 由於公设的特性，数学这领域会变成一种信仰，而推 11/11 13:33
43F：→ giraffe1021 : 导出来的定理正确性也仰赖於你相不相信那些公设了 11/11 13:33
44F：→ TimcApple : 是的 由於有人不相信无限大的存在 甚至认为太大的 11/11 17:55
45F：→ TimcApple : 数字是不存在的（例如超过 2^(宇宙原子数目) ） 11/11 17:55
46F：→ TimcApple : 不是所有人都能接受皮亚诺公设和自然数 11/11 17:55
47F：→ TimcApple : 至於连 1+1=2 都不相信的奇葩 我就不确定有没有了 11/11 17:55
48F：→ wohtp : 数学的本质是没有「内容」的文字逻辑游戏。公设没有 11/11 18:01
49F：→ wohtp : 对与错，只有合不合用。 11/11 18:01
50F：→ wohtp : 就像螺丝起子，十字头转不动一字螺丝不是起子的错， 11/11 18:01
51F：→ wohtp : 是你自己拿错。 11/11 18:01
52F：→ wohtp : 认清楚这点就没有信仰问题。如果觉得公设必须暗合某 11/11 18:01
53F：→ wohtp : 种宇宙真理，那才是信仰。 11/11 18:01
54F：→ wohtp : 不过在讲公设之前…2只是1+1的另一个名字罢了。1+1 11/11 18:21
55F：→ wohtp : 不可能不等於自己，你最多就质疑2可能不存在吧。但 11/11 18:21
56F：→ wohtp : 是没有加法又不会怎样… 11/11 18:21
57F：→ TimcApple : 不太一样 Peano Axiom 中的 2 是 1 的继承数 11/11 18:24
58F：→ TimcApple : 所以说 1+1=2 是(可被证明的)定理 11/11 18:24
59F：→ TimcApple : 而不是说 2=1+1 是 2 的定义ow o 11/11 18:24
60F：→ hwanger : 不是很重要 只是对我前述第一点的补充 11/11 21:03
61F：→ hwanger : 一个"实体"和"描述这个实体的语言"是不一样的事情 11/11 21:03
62F：→ hwanger : 这就像这个宇宙的存在 并不是因我们用经典力学 量子 11/11 21:04
63F：→ hwanger : 力学或相对论来描述来保证(当然这个宇宙是不是因我 11/11 21:04
64F：→ hwanger : 们的感知才存在这仍然是悬而未解的自然哲学题目) 11/11 21:04
65F：→ hwanger : 同样地在数理逻辑中 model的存在并不是依赖於你依 11/11 21:05
66F：→ hwanger : model所刻划的公设集及逻辑系统而定的 11/11 21:05
67F：→ hwanger : 而自然数不管是被认为成一种可递回、无限集的先验存 11/11 21:06
68F：→ hwanger : 在 或者一种cardinal numbers 或者一种ordinal 11/11 21:06
69F：→ hwanger : number 其存在性是被我们广泛认知到的 而不是用 11/11 21:06
70F：→ hwanger : Peano axioms来保证的 我们也不是透过信仰Peano 11/11 21:07
71F：→ hwanger : axioms来确定自然数存在的 11/11 21:07
72F：→ hwanger : 如果数学的本质是没有内容的文字游戏 那同样地所有 11/11 21:07
73F：→ hwanger : 自然哲学的分支都是 因为我们都是试图用人类的"语言 11/11 21:09
74F：→ hwanger : (这里不是指中文 英文这种东西 而是语言的概念)"企 11/11 21:09
75F：→ hwanger : 图去描述我们所认知的存在的实体 11/11 21:09
76F：→ hwanger : (这里其实对应到Einstein的一句话 "The most 11/11 21:12
77F：→ hwanger : incomprehensible thing about the universe is 11/11 21:12
78F：→ hwanger : that it is comprehensible") 11/11 21:13
79F：→ hwanger : 而就像"有质量的物体之间存在某种东西"是对宇宙一个 11/11 21:15
80F：→ hwanger : 性质的描述一样 "1+1=2"也是对"自然数"这个实体的一 11/11 21:15
81F：→ hwanger : 个性质的描述 11/11 21:15
82F：→ hwanger : 而就像"有质量的物体之间存在某种东西"可以被其他更 11/11 21:20
83F：→ hwanger : 基本的物理定律来推导一样 "1+1=2"可以被人为的公设 11/11 21:21
84F：→ hwanger : 所推导 但这些毕竟都是人为试图简约的结果 这两个性 11/11 21:24
85F：→ hwanger : 质在各自存在的实体中 是不是"被推导出来的"仍是我 11/11 21:25
86F：→ hwanger : 们无法判断的问题 11/11 21:25
87F：→ hwanger : 当然"自然数"的存在性本身就是一个哲学问题 毕竟他 11/11 21:34
88F：→ hwanger : 很难用我们的"感官"察觉出来 而这也是一些伟大的自 11/11 21:35
89F：→ hwanger : 然哲学家试图解决的问题 11/11 21:36
90F：→ hwanger : 而那些对"自然数的存在性"持有保留态度的人 仍然是 11/11 21:42
91F：→ hwanger : 可以用Peano axioms做形式上的推导 毕竟这就只是一 11/11 21:44
92F：→ hwanger : 个一致的逻辑系统 部份的人是质疑自然数的存在性 但 11/11 21:45
93F：→ hwanger : 这之中更多的人是质疑Peano axioms是否真的描述了自 11/11 21:46
94F：→ hwanger : 然数但并不质疑自然数的存在 11/11 21:47
95F：→ hwanger : 而更多的是偏实用主义的 反正我就有一个一致的逻辑 11/11 22:00
96F：→ hwanger : 系统了 反正用就对了 11/11 22:02
97F：推 Vulpix : 自然数本来就不存在於形而下的世界，而是一种形而上 11/11 22:08
98F：→ Vulpix : 的东西，就存在於我们的心中。 11/11 22:08
99F：→ hwanger : 但不管怎样 把数学的本质等同於逻辑的形式推衍 这个 11/11 22:08
100F：→ hwanger : 观点本身是有点问题的 11/11 22:09
102F：→ hwanger : 如V大所述 所以"自然数的存在性"才会变成一个形而上 11/11 22:10
103F：→ hwanger : 的问题 11/11 22:11
104F：→ hwanger : ...初音只是个软体... 11/11 22:12
105F：→ wohtp : 数学上所有的存在性到最後都要靠公设撑着不是吗？ 11/12 04:13
106F：→ wohtp : 「反正某个东西就是存在嘛，不爽咬我啊！」 11/12 04:13
107F：→ wohtp : 公设在数学和逻辑底下无法验证，也本来就不该有什麽 11/12 04:13
108F：→ wohtp : 验证公设这回事。但是要拿一个不能验证的东西，说它 11/12 04:13
109F：→ wohtp : 是宇宙真理，这就真的只能说是宗教信仰了。 11/12 04:13
110F：→ wohtp : 我记得楼上h大不久前才呛我说宇宙存不存在跟物理学 11/12 04:13
111F：→ wohtp : 怎麽看无关呢。宇宙存不存在跟人类发明的数学语言不 11/12 04:13
112F：→ wohtp : 就更加无关？ 11/12 04:13
113F：推 Vulpix : 其实我看不懂你们那一串，太长了…… 11/12 04:18
114F：→ wohtp : 人类确定自己手上的螺丝起子跟上帝用的一样是十字头 11/12 04:32
115F：→ wohtp : 就很够了。想一路上纲到说这是同一把起子？还是洗洗 11/12 04:32
116F：→ wohtp : 睡吧。 11/12 04:32
117F：→ hwanger : 第一 自然数的存在性虽然我们不清楚是不是这宇宙的 11/12 08:40
118F：→ hwanger : 一部份 但自然数的存在性的确先於用於描述他的公设 11/12 08:40
119F：→ hwanger : 集及逻辑系统(例如Peano axioms) 这部份才是对应到 11/12 08:40
120F：→ hwanger : 宇宙的存在先於描述他的物理学 11/12 08:41
121F：→ hwanger : 第二 我从来就没把公设集当作真理看待 我之前论述的 11/12 08:41
122F：→ hwanger : 第二点是为了戳破那些把Peano axioms就当作是自然数 11/12 08:41
123F：→ hwanger : 的人的美好幻想 但我在那之前是有第一点的 11/12 08:42
124F：→ hwanger : 而正如我之前论述的第一点所提到的 人类的逻辑系统 11/12 08:42
125F：→ hwanger : 是有缺陷的 那我们就更不可能将Peano axioms视作真 11/12 08:43
126F：→ hwanger : 理 或视作自然数的代名词 11/12 08:44
127F：→ hwanger : 第三 现时的数学和物理学都是偏实用主义的 也都企图 11/12 08:44
128F：→ hwanger : 用人类的语言去描述人类所认知的实体 而"数理逻辑" 11/12 08:45
129F：→ hwanger : 和"物理的公式"就是你口中的螺丝起子 我们用螺丝起 11/12 08:45
130F：→ hwanger : 子就可以做很多事 但你既自封为物理人 当然知道物理 11/12 08:45
131F：→ hwanger : 学是拥有更多哲学意涵的 同样地数学本身也不是单纯 11/12 08:46
132F：→ hwanger : 的"公设集及其逻辑系统" 数学本身也蕴藏大量哲学意 11/12 08:46
133F：→ hwanger : 涵 所以我们才有办法"选择相信什麽 不相信什麽" 就 11/12 08:46
134F：→ hwanger : 像Einstein"不相信"上帝会掷骰子一样 11/12 08:46
135F：→ hwanger : 你的数学只到实用主义的部份 就认为数学的全部就这 11/12 08:47
136F：→ hwanger : 样了 就跟那些认为物理就只是一堆公式的集合的人的 11/12 08:47
137F：→ hwanger : 想法是一样的 11/12 08:47
138F：→ hwanger : 第四 自然数不是人造的语言 他也是有被其他生物认知 11/12 08:48
139F：→ hwanger : 到的(一些较高等的动物至少已经可以区别1和2) 是已 11/12 08:49
140F：→ hwanger : 经有实验证明的 宇宙的存在和自然数的存在都是形而 11/12 08:49
141F：→ hwanger : 上的问题 而我采取的态度是两者都是存在的 不管人类 11/12 08:49
142F：→ hwanger : 有没有意识到这两者的存在 所以宇宙不会因有没有物 11/12 08:50
143F：→ hwanger : 理学而有时存在有时不存在 并且自然数也不会因有没 11/12 08:50
144F：→ hwanger : 有Peano axioms而有时存在 有时不存在 11/12 08:50
145F：→ hwanger : 第五 如我之前所述 我认为人类还没有发展到可以知道 11/12 08:51
146F：→ hwanger : "真理是什麽 该有什麽形式 具有什麽意涵"的地步 所 11/12 08:52
147F：→ hwanger : 以"人类可能可以理解这个宇宙(也就是物理学)"和 11/12 08:52
148F：→ hwanger : "1+1=2"对我而言是一样的 都是广泛被认知到的事而已 11/12 08:52
149F：→ hwanger : 不要说的好像我在判断什麽该是真理 什麽不该是真理 11/12 08:53
150F：→ hwanger : 一样 11/12 08:53
151F：→ hwanger : "「反正某个东西就是存在嘛，不...">>>你可能遇到很 11/12 08:56
152F：推 TaiwanFight : 看来台湾数学教育改革已经体现出成果了 11/12 08:56
153F：→ hwanger : 多偏实用主义的人是持这个态度在看数学的 但很可惜 11/12 08:56
154F：→ TaiwanFight : 不愧是台湾岛 近年来不断的进步 11/12 08:56
155F：→ hwanger : 我不是 还是你认为我讲这麽多东西是在附和其他人? 11/12 08:56
156F：→ TaiwanFight : 真心棒 11/12 08:57
157F：→ hwanger : "人类确定自己手上的螺丝起子...">>>我对"用Peano 11/12 08:57
158F：→ hwanger : axioms研究自然数"和"用物理学研究宇宙"是持一样的 11/12 08:57
159F：→ hwanger : 度 就是如我之前所述 "实体"和"描述这个实体的语言" 11/12 08:58
160F：→ hwanger : 的区别 你为何会有"我在无限上纲我们用的语言是真理 11/12 08:58
161F：→ hwanger : "这个幻觉 是在睡觉中梦到的吗? 11/12 08:58
162F：推 TimcApple : 我觉得 Peano Axioms 当成自然数很好啊ow o 11/12 19:56
163F：→ TimcApple : 倒不如说 不这样当很奇怪 除非不相信无限 11/12 19:57
164F：→ TimcApple : 你的论点像是 Peano Axiom 只是一种描述 11/12 19:58
165F：→ TimcApple : 描述那个宇宙中存在的那个「自然数」 11/12 19:59
166F：→ TimcApple : 可是光是存在於那边是不够的 你总要给个描述 11/12 19:59
167F：→ TimcApple : 只要开始描述 就和 Peano Axioms 脱不了关系了 11/12 20:00
168F：→ TimcApple : 在人类有个更好的方式描述「自然数」之前 11/12 20:04
169F：→ TimcApple : Peano Axiom 就是最好的描述 11/12 20:04
170F：→ TimcApple : 这样的情况下 不管原本是不是 11/12 20:04
171F：→ TimcApple : Peano Axiom 截至目前为止 就可以视为自然数 11/12 20:04
172F：→ TimcApple : 一如历史上 没见识过日蚀的人 将日蚀视为神蹟 11/12 20:05
173F：→ TimcApple : 那麽神蹟就是存在的 即使它是教会的夸大宣传 11/12 20:06
174F：→ TimcApple : 噢 还有另一个例子 11/12 20:12
175F：→ TimcApple : 你想说的大概是 pointer 和 object 的差别 11/12 20:12
176F：→ TimcApple : 但很多时候这两个东西其实是没差的 11/12 20:12
177F：→ TimcApple : 特别是 object 本身是虚拟的时候ow o 11/12 20:12
178F：→ TimcApple : 数学中的 characterization 就是这样的想法 11/12 20:13
179F：→ hwanger : T大你说的没错 我们可能无法脱离Peano axioms来描述 11/12 21:51
180F：→ hwanger : 自然数 在实务上也不必作区分 但既然我们现在是问更 11/12 21:52
181F：→ hwanger : 基本的哲学意涵 本来就有区分"实体"和"描述实体的语 11/12 21:53
182F：→ hwanger : 言"的必要 因为这两者的哲学意涵完全不同 11/12 21:55
183F：→ hwanger : 另外不是很重要 你想说的应该是reference和object的 11/12 21:57
184F：→ hwanger : 差别吧 毕竟pointer是需要取值运算子的 11/12 21:59
185F：→ hwanger : 但不管如何他们终究是不同的概念 只是实务上有时不 11/12 22:00
186F：→ hwanger : 需要区别而已 11/12 22:00
187F：→ hwanger : 而另外我不是很明白你说的characterization是指什麽 11/12 22:04
189F：→ hwanger : 我所认知的characterization是如上面wiki所述的 是 11/12 22:06
190F：→ hwanger : 一种在逻辑体系内的操作 这和将model公设化的过程是 11/12 22:06
191F：→ hwanger : 不太一样的 11/12 22:07
192F：→ hwanger : 然後我不是很懂日蚀的例子是想表达什麽 11/12 22:19