作者NTUmaki (西木野真姬)
看板Math
標題[線代] Idempotent 證明
時間Tue Oct 27 00:52:56 2020
https://i.imgur.com/1QbWs5e.jpg
想問b 的證法
右邊包含於左邊很trivial
但左邊包含於右邊想不到怎麼做，任給x屬於N(A) 一定可以寫成 u-Au 感覺沒有一個出發點
我如果直接取 x=x-Ax 是合理的做法嗎
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.8.2.73 (臺灣)
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※ 編輯: NTUmaki (39.8.2.73 臺灣), 10/27/2020 00:54:44
1F：→ hwanger : 是合理的作法 10/27 01:13
2F：→ hwanger : 若A是idempotent 則I-A也是idempotent b其實是在說 10/27 01:21
3F：→ hwanger : 一個重要的性質 N(A)=C(I-A) 10/27 01:21
4F：→ hwanger : 同時我們會有角色對換的性質 C(A)=N(I-A) 10/27 01:23
5F：→ hwanger : 實際上左邊包含於右邊對於一般矩陣都會成立 即當t非 10/27 01:36
6F：→ hwanger : 零時 N(A)是C(t*I-A)的子集 因對任意x在N(A)中 x會 10/27 01:36
7F：→ hwanger : 是t*I-A的eigenvector 10/27 01:36
8F：→ hwanger : 而任意eigenvalue不為0的eigenvector的在image中 10/27 01:38
9F：→ hwanger : typo:都在t*I-A的image中 10/27 01:41
10F：→ hwanger : 而右邊包含在左邊才是真正用到idempotent的性質 10/27 01:44
11F：→ TimcApple : Yes. x in N(A) -> Ax = 0 -> x = x - Ax 10/27 08:16
12F：→ TimcApple : 取 u = x 則左邊包含於右邊 10/27 08:16
13F：→ TimcApple : Note that (I-A)^2 = I-A, so I-A is also 10/27 08:19
14F：→ TimcApple : an idempotent 10/27 08:19
15F：→ hwanger : 不是很重要 不過在矩陣的情況下 尤其是在討論N(A) 10/27 09:51
16F：→ hwanger : C(A)這種東西的狀況下 A^2=A的A通常是稱作 10/27 09:52
17F：→ hwanger : projection(因為是將C(A)⊕N(A)投影到C(A)) 會叫 10/27 09:54
18F：→ hwanger : idempotent是因為他的確是矩陣"環"中的idempotent元 10/27 09:55
19F：→ hwanger : 素 這時你討論C(A),N(A)其實是在討論矩陣環的元素作 10/27 09:58
20F：→ hwanger : 用在一個特別module的表現 10/27 09:59
21F：→ hwanger : 而projection matrix會特別簡單是因為他的minimal 10/27 10:03
22F：→ hwanger : polynomial是x^2-x 所以他一定可以對角化 有兩個 10/27 10:04
23F：→ hwanger : eigenspace eigenvalue分別是1(對應到C(A))和0(對應 10/27 10:05
24F：→ hwanger : 到N(A)) 所以從eigendecomposition來看 圖片裡的問 10/27 10:06
25F：→ hwanger : 題都是可以馬上得到答案的 10/27 10:07