作者NTUmaki (西木野真姬)
看板Math
标题[线代] Idempotent 证明
时间Tue Oct 27 00:52:56 2020
https://i.imgur.com/1QbWs5e.jpg
想问b 的证法
右边包含於左边很trivial
但左边包含於右边想不到怎麽做，任给x属於N(A) 一定可以写成 u-Au 感觉没有一个出发点
我如果直接取 x=x-Ax 是合理的做法吗
-----
Sent from JPTT on my iPhone
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 39.8.2.73 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1603731178.A.DA5.html
※ 编辑: NTUmaki (39.8.2.73 台湾), 10/27/2020 00:54:44
1F：→ hwanger : 是合理的作法 10/27 01:13
2F：→ hwanger : 若A是idempotent 则I-A也是idempotent b其实是在说 10/27 01:21
3F：→ hwanger : 一个重要的性质 N(A)=C(I-A) 10/27 01:21
4F：→ hwanger : 同时我们会有角色对换的性质 C(A)=N(I-A) 10/27 01:23
5F：→ hwanger : 实际上左边包含於右边对於一般矩阵都会成立 即当t非 10/27 01:36
6F：→ hwanger : 零时 N(A)是C(t*I-A)的子集 因对任意x在N(A)中 x会 10/27 01:36
7F：→ hwanger : 是t*I-A的eigenvector 10/27 01:36
8F：→ hwanger : 而任意eigenvalue不为0的eigenvector的在image中 10/27 01:38
9F：→ hwanger : typo:都在t*I-A的image中 10/27 01:41
10F：→ hwanger : 而右边包含在左边才是真正用到idempotent的性质 10/27 01:44
11F：→ TimcApple : Yes. x in N(A) -> Ax = 0 -> x = x - Ax 10/27 08:16
12F：→ TimcApple : 取 u = x 则左边包含於右边 10/27 08:16
13F：→ TimcApple : Note that (I-A)^2 = I-A, so I-A is also 10/27 08:19
14F：→ TimcApple : an idempotent 10/27 08:19
15F：→ hwanger : 不是很重要 不过在矩阵的情况下 尤其是在讨论N(A) 10/27 09:51
16F：→ hwanger : C(A)这种东西的状况下 A^2=A的A通常是称作 10/27 09:52
17F：→ hwanger : projection(因为是将C(A)⊕N(A)投影到C(A)) 会叫 10/27 09:54
18F：→ hwanger : idempotent是因为他的确是矩阵"环"中的idempotent元 10/27 09:55
19F：→ hwanger : 素 这时你讨论C(A),N(A)其实是在讨论矩阵环的元素作 10/27 09:58
20F：→ hwanger : 用在一个特别module的表现 10/27 09:59
21F：→ hwanger : 而projection matrix会特别简单是因为他的minimal 10/27 10:03
22F：→ hwanger : polynomial是x^2-x 所以他一定可以对角化 有两个 10/27 10:04
23F：→ hwanger : eigenspace eigenvalue分别是1(对应到C(A))和0(对应 10/27 10:05
24F：→ hwanger : 到N(A)) 所以从eigendecomposition来看 图片里的问 10/27 10:06
25F：→ hwanger : 题都是可以马上得到答案的 10/27 10:07