作者kbolm ()
看板Math
標題[線代] 矩陣子空間的證明
時間Sat Oct 24 22:47:39 2020
https://imgur.com/a/HzbhNte
想請教一下，
題目是指要證明W1∩W2={0}和Mn*n(F)=W1+W2嗎？
如果是我理解的這樣，
想問一下Mn*n(F)=W1+W2的證明要怎麼下手？
謝謝！
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1F：→ hwanger : 對 題目是要證W1∩W2={0}和Mn*n(F)=W1+W2 10/24 22:52
2F：→ hwanger : 給定一個A在Mn*n(F)中 考慮B為 (i<=j) Bij=Aij 10/24 22:56
3F：→ hwanger : (i>j) Bij=Aji 則B對稱 A-B為嚴格下三角 A=B+(A-B) 10/24 22:57
4F：→ kbolm : 我不太懂第二個證明 是指B在W2裡面 A-B在W1 10/24 23:40
5F：→ kbolm : 裡面嗎？ 10/24 23:40
6F：推 cuylerLin : 交集空集合顯然；給定任意矩陣A 10/24 23:52
7F：→ cuylerLin : 定義B(A) (i,j)=B(A) (j,i) =A(i,j) for all i<=j. 10/24 23:52
8F：→ cuylerLin : A=[A-B(A)] +B(A) 則前項落在W1裡，後項B(A) 落在W2 10/24 23:52
9F：→ cuylerLin : 裡，直和分解成立 10/24 23:52
10F：→ kbolm : 這個證明的方法是先假定Mn*n(F)=W1+W2是對的，給定 10/24 23:52
11F：→ kbolm : A ，然後設B是一個對稱矩陣，最後得到A-B是嚴格下 10/24 23:52
12F：→ kbolm : 三角矩陣嗎？ 10/24 23:52
13F：推 cuylerLin : 不是，你要證明任意A都可以寫成W1裡面的東西加上W2 10/24 23:59
14F：→ cuylerLin : 裡面的東西，此處的 addition as in matrix additio 10/24 23:59
15F：→ cuylerLin : n 10/24 23:59
16F：→ cuylerLin : 也就是你要把A湊出這兩個subspace裡面的元素，至於 10/25 00:00
17F：→ cuylerLin : 怎麼湊就是經驗了XD 10/25 00:00
18F：→ hwanger : Mn*n(F)=W1+W2這是兩個集合的相等 所以你要證 10/25 00:18
19F：→ cuylerLin : 你可能只是定義不熟而已，可以回去前面1.3章的子空 10/25 00:20
20F：→ cuylerLin : 間看看～ 10/25 00:20
21F：→ hwanger : Mn*n(F)⊆W1+W2和W1+W2⊆Mn*n(F) 其中W1+W2⊆Mn*n(F 10/25 00:21
22F：→ hwanger : 是顯然的 所以剩下要證的是Mn*n(F)⊆W1+W2 而其中W1 10/25 00:23
23F：→ hwanger : +W2的元素都是一個嚴格下三角加上一個對稱矩陣 所以 10/25 00:24
24F：→ hwanger : 我們想證的是任意一個矩陣都是一個對稱矩陣加上一個 10/25 00:25
25F：→ hwanger : 嚴格下三角 意即A=B+L for some symmetric B and 10/25 00:26
26F：→ hwanger : lower triangular L 比對一下Aij=Bij+Lij就可以推出 10/25 00:27
27F：→ hwanger : B長什麼樣了 因為是直和 你只有一個目標能湊 所以毫 10/25 00:29
28F：→ hwanger : 無章法亂湊是行不通的 10/25 00:30
29F：→ cuylerLin : 原po也沒有毫無章法亂湊吧...我覺得原po只是定義不 10/25 00:37
30F：→ cuylerLin : 夠熟悉而已 10/25 00:37
31F：→ hwanger : 我又沒說原PO毫無章法亂湊 我是說毫無章法亂湊是行 10/25 00:42
32F：→ hwanger : 不通的 10/25 00:43
33F：→ cuylerLin : 就是要把任意的矩陣A湊出W1跟W2裡面的元素相加，怎 10/25 00:46
34F：→ cuylerLin : 麼會扯到毫無章法XD？一定是根據這兩個子空間來湊不 10/25 00:46
35F：→ cuylerLin : 是嗎XD 10/25 00:46
36F：→ cuylerLin : 當然可能複雜的題目給經驗多的人做，一下子就湊出來 10/25 00:47
37F：→ cuylerLin : 可能會被說毫無章法賽到就是了... 10/25 00:47
38F：→ cuylerLin : 我反而會建議原po其實可以很直覺地馬上把B(A) 寫下 10/25 00:49
39F：→ cuylerLin : 來 10/25 00:49
40F：→ hwanger : 我不太懂為何要曲解我的話 根據已有的知識一步一步 10/25 00:53
41F：→ hwanger : 汰除不可能的選項 或依著線索目標應有的樣子基本上 10/25 00:55
42F：→ hwanger : 就不是毫無章法了 有經驗的人也只是過程比較快而已 10/25 00:57
43F：→ hwanger : 我反而會建議原PO在初學的階段多寫幾次entry-wise的 10/25 00:59
44F：→ hwanger : 東西 這種東西寫過幾次就懂了 學習的過程本來就是前 10/25 01:00
45F：→ hwanger : 面緩慢 而後陡升的 唯有前期緩慢多下基礎功 後面陡 10/25 01:02
46F：→ hwanger : 升的高度才會增加 10/25 01:02
47F：→ hwanger : 基本上是真正寫下來就懂的 不需要假裝自己一眼就能 10/25 01:07
48F：→ hwanger : 看出來 10/25 01:07
49F：→ kbolm : 大概了解了 我會多練習的～ 10/25 01:09
50F：→ kbolm : 真的很謝謝h大跟c大！ 10/25 01:09
51F：推 cuylerLin : 順帶補充一下，原po也可以做做前一題，收穫也會滿多 10/25 01:14
52F：→ cuylerLin : 的XD 10/25 01:14
53F：→ hwanger : M=S+A for some symmetric S and anti-symmetric A 10/25 01:47
54F：→ hwanger : 整道題和transpose有關 所以transpose上面那個式子 10/25 01:49
55F：→ hwanger : 就會觀察到答案了 就跟奇偶函數一樣 不是憑空在湊的 10/25 01:50