作者kbolm ()
看板Math
标题[线代] 矩阵子空间的证明
时间Sat Oct 24 22:47:39 2020
https://imgur.com/a/HzbhNte
想请教一下，
题目是指要证明W1∩W2={0}和Mn*n(F)=W1+W2吗？
如果是我理解的这样，
想问一下Mn*n(F)=W1+W2的证明要怎麽下手？
谢谢！
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1F：→ hwanger : 对 题目是要证W1∩W2={0}和Mn*n(F)=W1+W2 10/24 22:52
2F：→ hwanger : 给定一个A在Mn*n(F)中 考虑B为 (i<=j) Bij=Aij 10/24 22:56
3F：→ hwanger : (i>j) Bij=Aji 则B对称 A-B为严格下三角 A=B+(A-B) 10/24 22:57
4F：→ kbolm : 我不太懂第二个证明 是指B在W2里面 A-B在W1 10/24 23:40
5F：→ kbolm : 里面吗？ 10/24 23:40
6F：推 cuylerLin : 交集空集合显然；给定任意矩阵A 10/24 23:52
7F：→ cuylerLin : 定义B(A) (i,j)=B(A) (j,i) =A(i,j) for all i<=j. 10/24 23:52
8F：→ cuylerLin : A=[A-B(A)] +B(A) 则前项落在W1里，後项B(A) 落在W2 10/24 23:52
9F：→ cuylerLin : 里，直和分解成立 10/24 23:52
10F：→ kbolm : 这个证明的方法是先假定Mn*n(F)=W1+W2是对的，给定 10/24 23:52
11F：→ kbolm : A ，然後设B是一个对称矩阵，最後得到A-B是严格下 10/24 23:52
12F：→ kbolm : 三角矩阵吗？ 10/24 23:52
13F：推 cuylerLin : 不是，你要证明任意A都可以写成W1里面的东西加上W2 10/24 23:59
14F：→ cuylerLin : 里面的东西，此处的 addition as in matrix additio 10/24 23:59
15F：→ cuylerLin : n 10/24 23:59
16F：→ cuylerLin : 也就是你要把A凑出这两个subspace里面的元素，至於 10/25 00:00
17F：→ cuylerLin : 怎麽凑就是经验了XD 10/25 00:00
18F：→ hwanger : Mn*n(F)=W1+W2这是两个集合的相等 所以你要证 10/25 00:18
19F：→ cuylerLin : 你可能只是定义不熟而已，可以回去前面1.3章的子空 10/25 00:20
20F：→ cuylerLin : 间看看～ 10/25 00:20
21F：→ hwanger : Mn*n(F)⊆W1+W2和W1+W2⊆Mn*n(F) 其中W1+W2⊆Mn*n(F 10/25 00:21
22F：→ hwanger : 是显然的 所以剩下要证的是Mn*n(F)⊆W1+W2 而其中W1 10/25 00:23
23F：→ hwanger : +W2的元素都是一个严格下三角加上一个对称矩阵 所以 10/25 00:24
24F：→ hwanger : 我们想证的是任意一个矩阵都是一个对称矩阵加上一个 10/25 00:25
25F：→ hwanger : 严格下三角 意即A=B+L for some symmetric B and 10/25 00:26
26F：→ hwanger : lower triangular L 比对一下Aij=Bij+Lij就可以推出 10/25 00:27
27F：→ hwanger : B长什麽样了 因为是直和 你只有一个目标能凑 所以毫 10/25 00:29
28F：→ hwanger : 无章法乱凑是行不通的 10/25 00:30
29F：→ cuylerLin : 原po也没有毫无章法乱凑吧...我觉得原po只是定义不 10/25 00:37
30F：→ cuylerLin : 够熟悉而已 10/25 00:37
31F：→ hwanger : 我又没说原PO毫无章法乱凑 我是说毫无章法乱凑是行 10/25 00:42
32F：→ hwanger : 不通的 10/25 00:43
33F：→ cuylerLin : 就是要把任意的矩阵A凑出W1跟W2里面的元素相加，怎 10/25 00:46
34F：→ cuylerLin : 麽会扯到毫无章法XD？一定是根据这两个子空间来凑不 10/25 00:46
35F：→ cuylerLin : 是吗XD 10/25 00:46
36F：→ cuylerLin : 当然可能复杂的题目给经验多的人做，一下子就凑出来 10/25 00:47
37F：→ cuylerLin : 可能会被说毫无章法赛到就是了... 10/25 00:47
38F：→ cuylerLin : 我反而会建议原po其实可以很直觉地马上把B(A) 写下 10/25 00:49
39F：→ cuylerLin : 来 10/25 00:49
40F：→ hwanger : 我不太懂为何要曲解我的话 根据已有的知识一步一步 10/25 00:53
41F：→ hwanger : 汰除不可能的选项 或依着线索目标应有的样子基本上 10/25 00:55
42F：→ hwanger : 就不是毫无章法了 有经验的人也只是过程比较快而已 10/25 00:57
43F：→ hwanger : 我反而会建议原PO在初学的阶段多写几次entry-wise的 10/25 00:59
44F：→ hwanger : 东西 这种东西写过几次就懂了 学习的过程本来就是前 10/25 01:00
45F：→ hwanger : 面缓慢 而後陡升的 唯有前期缓慢多下基础功 後面陡 10/25 01:02
46F：→ hwanger : 升的高度才会增加 10/25 01:02
47F：→ hwanger : 基本上是真正写下来就懂的 不需要假装自己一眼就能 10/25 01:07
48F：→ hwanger : 看出来 10/25 01:07
49F：→ kbolm : 大概了解了 我会多练习的～ 10/25 01:09
50F：→ kbolm : 真的很谢谢h大跟c大！ 10/25 01:09
51F：推 cuylerLin : 顺带补充一下，原po也可以做做前一题，收获也会满多 10/25 01:14
52F：→ cuylerLin : 的XD 10/25 01:14
53F：→ hwanger : M=S+A for some symmetric S and anti-symmetric A 10/25 01:47
54F：→ hwanger : 整道题和transpose有关 所以transpose上面那个式子 10/25 01:49
55F：→ hwanger : 就会观察到答案了 就跟奇偶函数一样 不是凭空在凑的 10/25 01:50