請問一下任給一個R^2中的曲線r(t):R→R^2 有沒有什麼構造函數的技巧r(t)是某個在R^2上的光滑函數的level curve (如果不加光滑當然就很簡單, 直接分段定義就好) 會問這個問題是因為以下兩個問題我都沒有什麼邏輯化的思維去構造, 只能亂湊 ---------------------------------------------------------------------- (1) 令r(t) = ((e^(-t))cost,(e^(-t))sint) (一直往中心靠近的螺旋) 是否存在光滑函數f:R^2→R使得 {(x,y):f(x,y)=0} = range of r (2) 構造一個光滑函數f:R^2→R使得存在兩個數p!=q 讓{(x,y):f(x,y)=p}與{(x,y):f(x,y)=q}一者有界level curve一者無界level curve 目前知道f(x,y)如果取二維bump function是可以的 但是bump function的無界的level set並不是curve的形狀 所以想問是否有其他例子讓level set都是curve且同時有界跟無界的情形發生 P.S. 有找到一個定理說如果是convex function則不可能有界與無界同時發生 謝謝幫忙~ --

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