请问一下任给一个R^2中的曲线r(t):R→R^2 有没有什麽构造函数的技巧r(t)是某个在R^2上的光滑函数的level curve (如果不加光滑当然就很简单, 直接分段定义就好) 会问这个问题是因为以下两个问题我都没有什麽逻辑化的思维去构造, 只能乱凑 ---------------------------------------------------------------------- (1) 令r(t) = ((e^(-t))cost,(e^(-t))sint) (一直往中心靠近的螺旋) 是否存在光滑函数f:R^2→R使得 {(x,y):f(x,y)=0} = range of r (2) 构造一个光滑函数f:R^2→R使得存在两个数p!=q 让{(x,y):f(x,y)=p}与{(x,y):f(x,y)=q}一者有界level curve一者无界level curve 目前知道f(x,y)如果取二维bump function是可以的 但是bump function的无界的level set并不是curve的形状 所以想问是否有其他例子让level set都是curve且同时有界跟无界的情形发生 P.S. 有找到一个定理说如果是convex function则不可能有界与无界同时发生 谢谢帮忙~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 123.110.132.77 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1603381299.A.BF0.html 感恩 我试试看 看边界处是否光滑 最初会想限制R^2是因为不想要定义域是有界 当然R^2少了一个点也是无界的 只是考虑到 有些函数可能在R^2有Liouville性质 所以乾脆限制在R^2当作最广的反例 cut-off函数真的很好用XD 最初不想用分段函数去接就是还要处理边界光滑性 我再微微看0点是否光滑 谢谢 增根会怎样吗 晚点画画看 谢噜 不好意思没打的很清楚, 我重叙述一次: (U是R^2子集合) (1) 最初想找f:U->R然後同时存在有界与无界的level set, 而f如果没给连续性的话很容 易刻意造, 因此加入光滑这个条件 (2) U如果有界的话那所有level set都是有界的, 所以乾脆考虑最广的例子R^2, 而我会 提到Liouville是因为之前学调和函数时很容易差一个点就导致函数整体变成常数, 所以 当V大提出U=R^2-{(0,0)}的反例时我就表达一下为什麽我想要整个R^2的原因, 不过不重 要就是了XD (3) 我说最初不考虑分段函数是因为我还要证明接点是光滑有点麻烦, 却忘记有bump fun ction这个标准例子帮你接好了, 可惜的是这个例子的无界level set并不是level curve, 晚上我再check h大用bump function加上arctan的想法 (4) 目前确实跟conformal, harmonic这些无关, 纯粹是对於以前看到那麽多level curve 的形状都很规律(全有界或全无界)才想说有无同时有界与无界的反例 (5) V大你最初那个"x=√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2))"是指"f(x,y)=√(x^2+y^2)*cos (ln√(x^2+y^2)-x"吗? 即便不考虑原点, 我画f(x,y)=p图後对 於每个p的level set都是无界的耶 (6) 最後问一下h, V大你们是怎麽想这些造法的? 我都觉得我在乱凑XDDD 谢谢h大回覆, 我晚上整理与画图後统整如下, 再请h大V大帮忙check一下: 1. 原题(2)的level curve例子确实用bump function加上任何一个有高度上限的光滑 函数g(x)都可以令 f(x,y) = p*bump(x,y) + g(x), where p*e^(-1) > sup|g| 而g(x)=arctan(x)就是你造的例子 只是确实要写出证明有点困难XDD 因为很难写出显式 不过目前画图觉得对就先对了 2. 原题(1)的例子在原始V大的例子 f(x,y) = x-√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2)) 在考虑f(x,y)=0时确实快接近了, 就差y增根跟原点光滑性, 其中y增根可以用 {x-√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2))}^2 + {y-√(x^2+y^2)*sin(ln√(x^2+y^2))}^2 来解决, 而原点问题可以藉由乘上e^(-1/(x^2+y^2))解决 3. V大想出原题(2)的函数是否就是去解 x = cos(t)e^(-t), y = sin(t)e^(-t) 然後再去把t全部消掉(平方和blabla)? 如果不是的话是怎麽想到的呢? 4. 关於原题(1), 若有一个解析函数f:R^2→R在r(t)上恒为0, 那确实藉由考虑f(x,mx) 亦为解析函数的情况下, 会有f(x,mx)=0 for all m,x, 那就推得f恒为0 而此处用到的两个性质为: (a) 单变数解析函数若在开连通的定义域中有0聚点那就会导致整体为0 (双变数以上就没有这性质, 不然有level curve的解析函数就全挂了) (b) 若f(x,y)为双变数解析函数 则f(x,mx)为单变数解析函数 谢谢回答~ ※ 编辑: znmkhxrw (123.110.132.77 台湾), 10/24/2020 01:58:47 以上谢谢回答~感恩^^ 另外最後一个问题是h大回的第一点, 我想问的证明是同时存在"有界跟无界"的level cur ve(是1维curve就如同你说的用隐函数证), 在还没加斜坡时的原始bump function可以很 好写出各level set的显式而去说明他有界与无界, 但是加上斜坡时整个函数歪掉了, 高 於斜坡的level set也是变成一个歪圆, 不知道有甚麽方法可是绕过写出显式证明有无界 性质, 谢谢! ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.42.48 台湾), 10/24/2020 13:07:21 了解了!! 谢谢~ ※ 编辑: znmkhxrw (42.72.12.234 台湾), 10/25/2020 13:32:45