作者NTUmaki (西木野真姬)
看板Math
標題[線代] QR分解
時間Wed Oct 21 20:54:41 2020
https://i.imgur.com/dfKLBJs.jpg
想問這題是不是有錯
QR分解的R應該要可逆？
另外請教
QR分解的等價條件是不是一定要行獨立？
因為有看到說QR可以推廣到任意矩陣都能分解
不確定要用哪種定義（目前翻原文書都是寫 R一定要可逆，而且Q是行正交，這樣A一定是
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.247.231.108 (臺灣)
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※ 編輯: NTUmaki (27.247.231.108 臺灣), 10/21/2020 20:58:08
1F：→ Ricestone : 因為有所謂胖QR分解跟瘦QR分解，兩者定義不同 10/21 20:58
2F：→ Ricestone : 然後這題並沒有提到這個QR就是QR分解的QR 10/21 21:04
那應該怎麼判斷題目的QR是不是QR分解呢？ 是必須提到 QR decomposed 這個名詞嗎
3F：→ Ricestone : 如果要是QR分解的R，那麼題目就得定義R可逆 10/21 21:06
※ 編輯: NTUmaki (27.247.231.108 臺灣), 10/21/2020 21:07:47
4F：→ Ricestone : 有提到那就沒問題，但這題就單純定義不一樣（不夠） 10/21 21:09
5F：→ Ricestone : 這邊還是有一個盲點就是說R主對角線要正，這就是 10/21 21:10
6F：→ Ricestone : 瘦QR分解的定義，這種分解是唯一的 10/21 21:11
7F：→ NTUmaki : 原來如此QQ 翻了兩本原文書都沒看到更詳細的定義 10/21 21:12
8F：→ Ricestone : 英文維基有寫到thin QR decomposition 10/21 21:16
9F：→ Ricestone : 線代啟示錄裡面也有 10/21 21:17
10F：→ hwanger : 不是很重要 不過如果依英文wiki的定義 題中的QR就是 10/22 02:48
11F：→ hwanger : QR decomposition 並且QR分解有可能不唯一 如下圖 10/22 02:50
13F：→ hwanger : 不過一般的定義是會要求A的column vector是獨立的( 10/22 02:53
14F：→ hwanger : 所以A是瘦的) 此時如果要求R的對角線是正的 我們才 10/22 02:54
15F：→ hwanger : 會有QR分解是唯一的 10/22 02:54
16F：→ hwanger : 如R大所述 這邊定義很亂 不過一般還是希望A的column 10/22 03:00
17F：→ hwanger : vector是獨立的 所以不太確定是否真的有人特別討論 10/22 03:00
18F：→ hwanger : 胖的情況 10/22 03:00
19F：→ hwanger : 依英文wiki定義 瘦分解是指對瘦矩陣做QR分解 僅在A 10/22 03:04
20F：→ hwanger : 是full rank並且R的對角線是正的情況下 分解才唯一 10/22 03:05
21F：→ hwanger : 昨天有點混亂 不過英文wiki其實就蠻清楚了 10/22 07:10
22F：→ hwanger : 先考慮方陣A 我們把A=QR Q是unitary R是上三角 都叫 10/22 07:11
23F：→ hwanger : QR分解 不過在這個情形下就會像LU分解一樣 造成分解 10/22 07:12
24F：→ hwanger : 可能不唯一 加上為了能夠順利施作Gram–Schmidt 大 10/22 07:14
25F：→ hwanger : 部份的作者就會直接假設A的column vectors是獨立的 10/22 07:15
26F：→ hwanger : 所以才會得到如文中所述 QR分解需要行獨立且R可逆 10/22 07:18
27F：→ hwanger : 但是Gram–Schmidt的施作只需要獨立的向量 並不需要 10/22 07:20
28F：→ hwanger : 基底 所以才有好像推廣到一般矩陣的感覺 但實際上 10/22 07:21
29F：→ hwanger : 為了讓column vector獨立 你必須要求瘦矩陣才行 10/22 07:24