作者NTUmaki (西木野真姬)
看板Math
标题[线代] QR分解
时间Wed Oct 21 20:54:41 2020
https://i.imgur.com/dfKLBJs.jpg
想问这题是不是有错
QR分解的R应该要可逆？
另外请教
QR分解的等价条件是不是一定要行独立？
因为有看到说QR可以推广到任意矩阵都能分解
不确定要用哪种定义（目前翻原文书都是写 R一定要可逆，而且Q是行正交，这样A一定是
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 27.247.231.108 (台湾)
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※ 编辑: NTUmaki (27.247.231.108 台湾), 10/21/2020 20:58:08
1F：→ Ricestone : 因为有所谓胖QR分解跟瘦QR分解，两者定义不同 10/21 20:58
2F：→ Ricestone : 然後这题并没有提到这个QR就是QR分解的QR 10/21 21:04
那应该怎麽判断题目的QR是不是QR分解呢？ 是必须提到 QR decomposed 这个名词吗
3F：→ Ricestone : 如果要是QR分解的R，那麽题目就得定义R可逆 10/21 21:06
※ 编辑: NTUmaki (27.247.231.108 台湾), 10/21/2020 21:07:47
4F：→ Ricestone : 有提到那就没问题，但这题就单纯定义不一样（不够） 10/21 21:09
5F：→ Ricestone : 这边还是有一个盲点就是说R主对角线要正，这就是 10/21 21:10
6F：→ Ricestone : 瘦QR分解的定义，这种分解是唯一的 10/21 21:11
7F：→ NTUmaki : 原来如此QQ 翻了两本原文书都没看到更详细的定义 10/21 21:12
8F：→ Ricestone : 英文维基有写到thin QR decomposition 10/21 21:16
9F：→ Ricestone : 线代启示录里面也有 10/21 21:17
10F：→ hwanger : 不是很重要 不过如果依英文wiki的定义 题中的QR就是 10/22 02:48
11F：→ hwanger : QR decomposition 并且QR分解有可能不唯一 如下图 10/22 02:50
13F：→ hwanger : 不过一般的定义是会要求A的column vector是独立的( 10/22 02:53
14F：→ hwanger : 所以A是瘦的) 此时如果要求R的对角线是正的 我们才 10/22 02:54
15F：→ hwanger : 会有QR分解是唯一的 10/22 02:54
16F：→ hwanger : 如R大所述 这边定义很乱 不过一般还是希望A的column 10/22 03:00
17F：→ hwanger : vector是独立的 所以不太确定是否真的有人特别讨论 10/22 03:00
18F：→ hwanger : 胖的情况 10/22 03:00
19F：→ hwanger : 依英文wiki定义 瘦分解是指对瘦矩阵做QR分解 仅在A 10/22 03:04
20F：→ hwanger : 是full rank并且R的对角线是正的情况下 分解才唯一 10/22 03:05
21F：→ hwanger : 昨天有点混乱 不过英文wiki其实就蛮清楚了 10/22 07:10
22F：→ hwanger : 先考虑方阵A 我们把A=QR Q是unitary R是上三角 都叫 10/22 07:11
23F：→ hwanger : QR分解 不过在这个情形下就会像LU分解一样 造成分解 10/22 07:12
24F：→ hwanger : 可能不唯一 加上为了能够顺利施作Gram–Schmidt 大 10/22 07:14
25F：→ hwanger : 部份的作者就会直接假设A的column vectors是独立的 10/22 07:15
26F：→ hwanger : 所以才会得到如文中所述 QR分解需要行独立且R可逆 10/22 07:18
27F：→ hwanger : 但是Gram–Schmidt的施作只需要独立的向量 并不需要 10/22 07:20
28F：→ hwanger : 基底 所以才有好像推广到一般矩阵的感觉 但实际上 10/22 07:21
29F：→ hwanger : 为了让column vector独立 你必须要求瘦矩阵才行 10/22 07:24