作者Lanjaja ()
看板Math
標題[中學] 根式化簡 求過程
時間Sat Oct 17 21:18:20 2020
大家好，我想請問一個立方根式化簡的過程
1.(2 + √5)^(1/3) - (2 - √5)^(1/3)
2.(10 + √108)^(1/3) + (10 - √108)^(1/3)
以上2道題據說可以化成2次方根或整數的答案。
我嘗試用了x^3+y^3=(x+y)*(x^2-xy+y^2)
可是越搞越複雜，方向應該是錯的，
想請板上強者提供一下化簡的過程，
感謝回答！
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1F：→ kittor : 不試完全立方? 10/17 21:20
2F：→ Lanjaja : 可以請問一下過程嗎? 10/17 21:30
3F：→ Lanjaja : 完全立方很複雜，很多種可能，不知如何試起 10/17 21:31
4F：→ hwanger : 逆推Cardano formula 則1得x^3-3x-2√5 10/17 21:52
5F：→ hwanger : 因式分解得(x^2+√5x+2)(x-√5) 10/17 21:53
7F：→ hwanger : 2得x^3+6x-20=(x^2+2x+10)(x-2) 10/17 21:54
8F：→ LPH66 : Q1 先做 + 版可以不用分解四樓那條相對不好做的 10/17 21:54
9F：→ hwanger : ??? (2+√5)^(1/3)-(2-√5)^(1/3) = 10/17 21:58
10F：→ Lanjaja : 請問L大上半部是求(2+√5)^(1/3)+(2-√5)^(1/3)? 10/17 22:00
11F：→ hwanger : (√5+2)^(1/3)+(√5-2)^(1/3) 所以q=-2√5 p=-3 10/17 22:00
12F：→ Lanjaja : 第一題我直接立方得A(A^2-3)=2√5，用猜的A=√5，但 10/17 22:01
13F：→ Lanjaja : 能用於簡單看得出來的，第二題就碰壁了... 10/17 22:02
14F：→ Lanjaja : 請問h大x^3+6x=20要怎麼求解? 10/17 22:03
15F：→ Lanjaja : LPH大上半部作法看懂了，好妙！ 10/17 22:04
16F：→ hwanger : 分解x^3-3x-2(5)^(1/2) 星形交乘就得到那個因式分解 10/17 22:04
17F：→ hwanger : 因為LPH大也是逆推Cardano formula而已 10/17 22:06
18F：→ hwanger : x^3+6x-20 星形交乘就得到那個因式分解了 10/17 22:08
19F：→ Lanjaja : 星形交乘法 第一次聽到 請問要怎麼用? 10/17 22:08
20F：→ Lanjaja : 請問哪個教材看得到星形交乘法 10/17 22:08
21F：→ Lanjaja : 想知道它的理論，謝謝h大 10/17 22:10
22F：→ Lanjaja : 我直接立方做就是LPH大的下半部做法，上半部迂迴但 10/17 22:11
23F：→ Lanjaja : 是變得可解，謝謝LPH大。 10/17 22:12
24F：→ hwanger : 就是十字交乘法的推廣而已 畫一個不出頭的五芒星 10/17 22:12
25F：→ hwanger : 做跟十字交乘法一樣的事 應該沒教材 我國中老師要我 10/17 22:14
26F：→ hwanger : 們練的 10/17 22:14
27F：→ Lanjaja : h大的國中老師真的很好，以前聽都沒聽過的技巧 10/17 22:16
28F：→ hwanger : ??? 就十字交乘法的推廣而已 還有老師會交雙十字不 10/17 22:17
29F：→ hwanger : 是嗎 另外你原文題目就是Cardano formula的變形而已 10/17 22:18
30F：→ hwanger : 還有如果原本的三次方程式 你無法漂亮的因式分解 10/17 22:24
31F：→ Lanjaja : 雙十字交乘法這個可以由十字交乘法自己推廣，星形要 10/17 22:25
32F：→ Lanjaja : 要再上網看看是怎麼做的 10/17 22:25
33F：→ hwanger : 你重推一次Cardano formula也不會得到漂亮的解 10/17 22:25
34F：→ Lanjaja : 我也想知道如果不要是兩個根式相加相減，只有一個的 10/17 22:26
35F：→ Lanjaja : 立方根有沒有什麼辦法可以化簡 10/17 22:26
36F：→ Lanjaja : 卡丹公式的缺點就是沒有給出化簡的形式 10/17 22:27
37F：→ Lanjaja : 所以我也想知道有沒有其他化簡的方法 10/17 22:28
38F：推 LPH66 : 如果單論 Q1 的話, 從 x+y=1 和 x-y=√5 10/17 22:30
39F：→ LPH66 : 就能推得 x = (1+√5)/2, y=(1-√5)/2 10/17 22:31
40F：→ hwanger : 如果是 (m+n^(1/2))^(1/3) m非零的話 基本上是不能 10/17 22:31
41F：→ LPH66 : 應該可以算是變相單個立方根的拆根號 10/17 22:31
42F：→ LPH66 : 但就如樓上所言, 一般來說是拆不動的 10/17 22:32
43F：→ hwanger : 再化簡的 這個是因為field extension over Q的 10/17 22:32
44F：→ hwanger : degree是6 10/17 22:32
45F：→ hwanger : 一個數開二次再開三次能不能化簡成更低次 是有比較 10/17 22:34
46F：→ hwanger : 進階的代數工具幫助判別的 10/17 22:35
47F：→ hwanger : 有興趣的話可以找Galois theory的書來看 10/17 22:37
48F：→ Lanjaja : 好深...不知道此生有沒有機會了解... 10/17 22:46
49F：→ hwanger : 不會很深 太多人將高等數學妖魔鬼怪化了 10/17 22:51
50F：→ hwanger : 另外不是很重要 如果能認識Galois theory的話 應該 10/17 22:52
51F：→ hwanger : 就能明白 為何我會說"三次方程式如果無法漂亮的因式 10/17 22:53
52F：→ hwanger : 分解 基本上重做一次Cardano formula也是白做的" 這 10/17 22:54
53F：→ hwanger : 句話 10/17 22:54
54F：→ Lanjaja : 好的，謝謝，有空時再慢慢啃 10/17 23:00
55F：推 aikotoba : 知道卡丹公式的話就可以想辦法逆推 10/17 23:37
56F：→ kittor : 白天來做一次看看好了 10/18 00:52
57F：→ hwanger : ??? LPH66大的方法就是逆推Cardano formula呀 還是 10/18 01:07
58F：→ hwanger : Cardano's formula是有其他我不知道的推法? 10/18 01:08