作者Lanjaja ()
看板Math
标题[中学] 根式化简 求过程
时间Sat Oct 17 21:18:20 2020
大家好，我想请问一个立方根式化简的过程
1.(2 + √5)^(1/3) - (2 - √5)^(1/3)
2.(10 + √108)^(1/3) + (10 - √108)^(1/3)
以上2道题据说可以化成2次方根或整数的答案。
我尝试用了x^3+y^3=(x+y)*(x^2-xy+y^2)
可是越搞越复杂，方向应该是错的，
想请板上强者提供一下化简的过程，
感谢回答！
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1F：→ kittor : 不试完全立方? 10/17 21:20
2F：→ Lanjaja : 可以请问一下过程吗? 10/17 21:30
3F：→ Lanjaja : 完全立方很复杂，很多种可能，不知如何试起 10/17 21:31
4F：→ hwanger : 逆推Cardano formula 则1得x^3-3x-2√5 10/17 21:52
5F：→ hwanger : 因式分解得(x^2+√5x+2)(x-√5) 10/17 21:53
7F：→ hwanger : 2得x^3+6x-20=(x^2+2x+10)(x-2) 10/17 21:54
8F：→ LPH66 : Q1 先做 + 版可以不用分解四楼那条相对不好做的 10/17 21:54
9F：→ hwanger : ??? (2+√5)^(1/3)-(2-√5)^(1/3) = 10/17 21:58
10F：→ Lanjaja : 请问L大上半部是求(2+√5)^(1/3)+(2-√5)^(1/3)? 10/17 22:00
11F：→ hwanger : (√5+2)^(1/3)+(√5-2)^(1/3) 所以q=-2√5 p=-3 10/17 22:00
12F：→ Lanjaja : 第一题我直接立方得A(A^2-3)=2√5，用猜的A=√5，但 10/17 22:01
13F：→ Lanjaja : 能用於简单看得出来的，第二题就碰壁了... 10/17 22:02
14F：→ Lanjaja : 请问h大x^3+6x=20要怎麽求解? 10/17 22:03
15F：→ Lanjaja : LPH大上半部作法看懂了，好妙！ 10/17 22:04
16F：→ hwanger : 分解x^3-3x-2(5)^(1/2) 星形交乘就得到那个因式分解 10/17 22:04
17F：→ hwanger : 因为LPH大也是逆推Cardano formula而已 10/17 22:06
18F：→ hwanger : x^3+6x-20 星形交乘就得到那个因式分解了 10/17 22:08
19F：→ Lanjaja : 星形交乘法 第一次听到 请问要怎麽用? 10/17 22:08
20F：→ Lanjaja : 请问哪个教材看得到星形交乘法 10/17 22:08
21F：→ Lanjaja : 想知道它的理论，谢谢h大 10/17 22:10
22F：→ Lanjaja : 我直接立方做就是LPH大的下半部做法，上半部迂回但 10/17 22:11
23F：→ Lanjaja : 是变得可解，谢谢LPH大。 10/17 22:12
24F：→ hwanger : 就是十字交乘法的推广而已 画一个不出头的五芒星 10/17 22:12
25F：→ hwanger : 做跟十字交乘法一样的事 应该没教材 我国中老师要我 10/17 22:14
26F：→ hwanger : 们练的 10/17 22:14
27F：→ Lanjaja : h大的国中老师真的很好，以前听都没听过的技巧 10/17 22:16
28F：→ hwanger : ??? 就十字交乘法的推广而已 还有老师会交双十字不 10/17 22:17
29F：→ hwanger : 是吗 另外你原文题目就是Cardano formula的变形而已 10/17 22:18
30F：→ hwanger : 还有如果原本的三次方程式 你无法漂亮的因式分解 10/17 22:24
31F：→ Lanjaja : 双十字交乘法这个可以由十字交乘法自己推广，星形要 10/17 22:25
32F：→ Lanjaja : 要再上网看看是怎麽做的 10/17 22:25
33F：→ hwanger : 你重推一次Cardano formula也不会得到漂亮的解 10/17 22:25
34F：→ Lanjaja : 我也想知道如果不要是两个根式相加相减，只有一个的 10/17 22:26
35F：→ Lanjaja : 立方根有没有什麽办法可以化简 10/17 22:26
36F：→ Lanjaja : 卡丹公式的缺点就是没有给出化简的形式 10/17 22:27
37F：→ Lanjaja : 所以我也想知道有没有其他化简的方法 10/17 22:28
38F：推 LPH66 : 如果单论 Q1 的话, 从 x+y=1 和 x-y=√5 10/17 22:30
39F：→ LPH66 : 就能推得 x = (1+√5)/2, y=(1-√5)/2 10/17 22:31
40F：→ hwanger : 如果是 (m+n^(1/2))^(1/3) m非零的话 基本上是不能 10/17 22:31
41F：→ LPH66 : 应该可以算是变相单个立方根的拆根号 10/17 22:31
42F：→ LPH66 : 但就如楼上所言, 一般来说是拆不动的 10/17 22:32
43F：→ hwanger : 再化简的 这个是因为field extension over Q的 10/17 22:32
44F：→ hwanger : degree是6 10/17 22:32
45F：→ hwanger : 一个数开二次再开三次能不能化简成更低次 是有比较 10/17 22:34
46F：→ hwanger : 进阶的代数工具帮助判别的 10/17 22:35
47F：→ hwanger : 有兴趣的话可以找Galois theory的书来看 10/17 22:37
48F：→ Lanjaja : 好深...不知道此生有没有机会了解... 10/17 22:46
49F：→ hwanger : 不会很深 太多人将高等数学妖魔鬼怪化了 10/17 22:51
50F：→ hwanger : 另外不是很重要 如果能认识Galois theory的话 应该 10/17 22:52
51F：→ hwanger : 就能明白 为何我会说"三次方程式如果无法漂亮的因式 10/17 22:53
52F：→ hwanger : 分解 基本上重做一次Cardano formula也是白做的" 这 10/17 22:54
53F：→ hwanger : 句话 10/17 22:54
54F：→ Lanjaja : 好的，谢谢，有空时再慢慢啃 10/17 23:00
55F：推 aikotoba : 知道卡丹公式的话就可以想办法逆推 10/17 23:37
56F：→ kittor : 白天来做一次看看好了 10/18 00:52
57F：→ hwanger : ??? LPH66大的方法就是逆推Cardano formula呀 还是 10/18 01:07
58F：→ hwanger : Cardano's formula是有其他我不知道的推法? 10/18 01:08