作者vacuityhu (真空管)
看板Math
標題[其他] 一個邏輯問題
時間Tue Oct 13 16:18:33 2020
有個邏輯問題我一直想不通...
如果 P=>Q 是真
那我們都知道P'=>Q'(否定)必為假, 然後Q=>P(逆)也為假
然後否逆命題Q'=>P'就會恆真, 因為雙重否定
但這件事是不是必須先確定Q=>P一定是假才行阿?
也就是說
我們必須先確定只有P=>Q, 而不是P<=>Q
不然如果P<=>Q的話上述的否定命題跟逆命題就也必為真了
而且這邊也產生了一件很奇怪的事
如果P<=>Q的話, 經過一次否定或一次逆竟然真值不變?
然後再進一步來說
以往我們常用的反證法是不是就用的太魯莽了呢?
試證P=>Q為真
然後我們毫不猶豫的就從P'=>Q'為假這個角度去證
那如果事實上P<=>Q呢?
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1F：→ mantour : P->Q為真, 則Q'->P'也為真, 與P'->Q'的真假無關吧 10/13 17:15
2F：→ judgment : 應該說這2件事是邏輯等價的 10/13 17:24
3F：→ judgment : 利用邏輯上的 P=>Q ≡ ~P V Q 這件事可以簡單驗證 10/13 17:28
4F：推 Vulpix : 你第三行那兩個敘述都不必為假啊。 10/13 17:28
5F：→ judgment : 而 P <==>Q ≡ ( P=>Q ^ Q =>P) ，看真值表就跟上 10/13 17:30
6F：→ judgment : 就不一樣了 10/13 17:30
7F：推 Vulpix : 反證法是 Q'→P'。 10/13 17:33
8F：→ hwanger : 原PO最大的誤解在於認為P→Q的否定敘述Q'→P' 10/14 12:03
9F：→ hwanger : (By completeness theorem)我們算一下(P→Q)'和 10/14 12:03
10F：→ hwanger : Q'→P'的真值表就可以發現他們不等價了 10/14 12:03
11F：→ hwanger : 另外不是很重要的一點 為了證P→Q而去證Q'→P'並不 10/14 12:05
12F：→ hwanger : 是反證法 而是proof by contraposition 反證法是指 10/14 12:05
13F：→ hwanger : "由P推得R和非R 故非P" 10/14 12:06
14F：推 Vulpix : 咦，這是歸謬吧？實做通常是從Q'推得R和R'這樣？ 10/14 13:45
15F：推 LPH66 : 應該說是 (PΛQ')→(RΛR') 故 ~(PΛQ') 即 P→Q 10/14 14:40
16F：→ LPH66 : Q'→P' 可以是上式的一種狀況 10/14 14:41
17F：→ hwanger : "P→Q和Q'→P'等價"不是反證法的特例 只是在某些邏 10/14 15:09
18F：→ hwanger : 輯體系下 我們可能可以用反證法證明他們等價 10/14 15:09
19F：→ hwanger : 反證法(Proof by contradiction)是歸謬法(reductio 10/14 15:10
20F：→ hwanger : ad absurdum)的在數學中的形式 歸謬法是一種論證方 10/14 15:11
21F：→ hwanger : 式 但不限於數學中 10/14 15:11
22F：→ hwanger : 反證法的依據 在古典邏輯中是依賴於無矛盾律和排中 10/14 15:11
23F：→ hwanger : 律 (跟爆炸原理也有關係) 在形式邏輯中 則是 P 和 10/14 15:12
24F：→ hwanger : P'→⊥等價 或者在實作中 P→Q 和(P and Q')→⊥是 10/14 15:12
25F：→ hwanger : 等價的 10/14 15:12
26F：→ hwanger : Proof by contraposition的依據 不管是在古典或形式 10/14 15:13
27F：→ hwanger : 邏輯中 都是the law of contraposition (任何的 10/14 15:13
28F：→ hwanger : conditional statement都和他的contrapostion等價 10/14 15:13
29F：→ hwanger : 即P→Q 和 Q'→P'是等價的) 10/14 15:15
30F：→ hwanger : 不應該因P→Q, (P and Q')→⊥和Q'→P'在某些邏輯體 10/14 15:19
31F：→ hwanger : 系下是等價的 就誤以為這三者是同一件事 至少在字串 10/14 15:20
32F：→ hwanger : 上就已經不是同一回事了 10/14 15:20
33F：推 Vulpix : 所以數學中歸謬和反證是同一件事囉？以前從沒分清楚 10/14 16:11
34F：→ Vulpix : 過:p 畢竟太少去區分邏輯之間的異同了。 10/14 16:21