作者vacuityhu (真空管)
看板Math
标题[其他] 一个逻辑问题
时间Tue Oct 13 16:18:33 2020
有个逻辑问题我一直想不通...
如果 P=>Q 是真
那我们都知道P'=>Q'(否定)必为假, 然後Q=>P(逆)也为假
然後否逆命题Q'=>P'就会恒真, 因为双重否定
但这件事是不是必须先确定Q=>P一定是假才行阿?
也就是说
我们必须先确定只有P=>Q, 而不是P<=>Q
不然如果P<=>Q的话上述的否定命题跟逆命题就也必为真了
而且这边也产生了一件很奇怪的事
如果P<=>Q的话, 经过一次否定或一次逆竟然真值不变?
然後再进一步来说
以往我们常用的反证法是不是就用的太鲁莽了呢?
试证P=>Q为真
然後我们毫不犹豫的就从P'=>Q'为假这个角度去证
那如果事实上P<=>Q呢?
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1F：→ mantour : P->Q为真, 则Q'->P'也为真, 与P'->Q'的真假无关吧 10/13 17:15
2F：→ judgment : 应该说这2件事是逻辑等价的 10/13 17:24
3F：→ judgment : 利用逻辑上的 P=>Q ≡ ~P V Q 这件事可以简单验证 10/13 17:28
4F：推 Vulpix : 你第三行那两个叙述都不必为假啊。 10/13 17:28
5F：→ judgment : 而 P <==>Q ≡ ( P=>Q ^ Q =>P) ，看真值表就跟上 10/13 17:30
6F：→ judgment : 就不一样了 10/13 17:30
7F：推 Vulpix : 反证法是 Q'→P'。 10/13 17:33
8F：→ hwanger : 原PO最大的误解在於认为P→Q的否定叙述Q'→P' 10/14 12:03
9F：→ hwanger : (By completeness theorem)我们算一下(P→Q)'和 10/14 12:03
10F：→ hwanger : Q'→P'的真值表就可以发现他们不等价了 10/14 12:03
11F：→ hwanger : 另外不是很重要的一点 为了证P→Q而去证Q'→P'并不 10/14 12:05
12F：→ hwanger : 是反证法 而是proof by contraposition 反证法是指 10/14 12:05
13F：→ hwanger : "由P推得R和非R 故非P" 10/14 12:06
14F：推 Vulpix : 咦，这是归谬吧？实做通常是从Q'推得R和R'这样？ 10/14 13:45
15F：推 LPH66 : 应该说是 (PΛQ')→(RΛR') 故 ~(PΛQ') 即 P→Q 10/14 14:40
16F：→ LPH66 : Q'→P' 可以是上式的一种状况 10/14 14:41
17F：→ hwanger : "P→Q和Q'→P'等价"不是反证法的特例 只是在某些逻 10/14 15:09
18F：→ hwanger : 辑体系下 我们可能可以用反证法证明他们等价 10/14 15:09
19F：→ hwanger : 反证法(Proof by contradiction)是归谬法(reductio 10/14 15:10
20F：→ hwanger : ad absurdum)的在数学中的形式 归谬法是一种论证方 10/14 15:11
21F：→ hwanger : 式 但不限於数学中 10/14 15:11
22F：→ hwanger : 反证法的依据 在古典逻辑中是依赖於无矛盾律和排中 10/14 15:11
23F：→ hwanger : 律 (跟爆炸原理也有关系) 在形式逻辑中 则是 P 和 10/14 15:12
24F：→ hwanger : P'→⊥等价 或者在实作中 P→Q 和(P and Q')→⊥是 10/14 15:12
25F：→ hwanger : 等价的 10/14 15:12
26F：→ hwanger : Proof by contraposition的依据 不管是在古典或形式 10/14 15:13
27F：→ hwanger : 逻辑中 都是the law of contraposition (任何的 10/14 15:13
28F：→ hwanger : conditional statement都和他的contrapostion等价 10/14 15:13
29F：→ hwanger : 即P→Q 和 Q'→P'是等价的) 10/14 15:15
30F：→ hwanger : 不应该因P→Q, (P and Q')→⊥和Q'→P'在某些逻辑体 10/14 15:19
31F：→ hwanger : 系下是等价的 就误以为这三者是同一件事 至少在字串 10/14 15:20
32F：→ hwanger : 上就已经不是同一回事了 10/14 15:20
33F：推 Vulpix : 所以数学中归谬和反证是同一件事罗？以前从没分清楚 10/14 16:11
34F：→ Vulpix : 过:p 毕竟太少去区分逻辑之间的异同了。 10/14 16:21