作者Rasin (雷森)
看板Math
標題[代數] 這不等式有人證過了嗎
時間Wed Sep 30 17:06:46 2020
強者我朋友
在處理賭博期望估計的時候發現的一個不等式
P1*a + P2*b >= a^P1 * b^P2 ...P1+P2=1; a>0,b>0
若P1=P2就會變成算幾不等式
賭博上還滿好用的 不知道有沒有人證過了?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.168.112.84 (臺灣)
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※ 編輯: Rasin (1.168.112.84 臺灣), 09/30/2020 17:07:50
1F：推 LPH66 : 令隨機變數 X 有 p1 機率為 a, p2 機率為 b 09/30 17:19
2F：→ LPH66 : 則原式可變形為 ln(E[X]) >= E[ln(X)] 09/30 17:20
3F：→ LPH66 : 查了一下好像可以用 Jensen's inequality 反著用 09/30 17:22
4F：推 cuylerLin : convex combination, Jensen's inequality 09/30 17:22
5F：→ LPH66 : (還是直接用? 我有點不確定方向 @@) 09/30 17:22
6F：→ Ricestone : 對指數函數用Jensen不等式 09/30 17:24
7F：→ Rasin : 原本是打算轉成夠多個實數相加 變成N項算幾不等 09/30 17:33
8F：→ Rasin : 但是P是無理數循環小數稍微麻煩 所以問看看這種 09/30 17:35
9F：→ Rasin : 東西可能有人證過或發現過了 09/30 17:36
10F：推 Vulpix : 這就是算幾不等式啊。 09/30 18:27
11F：推 Vulpix : 考慮k平均 f(k)=(P1*a^k+P2*b^k)^(1/k) 09/30 18:33
12F：→ Vulpix : 容易驗證 f(k) 遞增，而且 f(k)→a^P1*b^P2 as k→0 09/30 18:34
13F：→ Rasin : 感謝線索 我再重整寫看看 09/30 20:05
14F：推 giraffe1021 : 這就是weighted am-gm inequality 維基上有介紹 10/01 01:58
15F：→ TimcApple : 設 f(x) = xa + (1-x)b - a^x b^(1-x) on (0,1) 10/01 10:28
16F：→ TimcApple : 當 x 為有理數時 f(x) >= 0, 且 f 顯然連續 10/01 10:29
17F：→ TimcApple : 因此對所有 x in (0, 1), 皆有 f(x) >= 0 10/01 10:29
18F：推 THEJOY : Young's inequality? 10/01 16:37
19F：→ Rasin : 楊應該是最直接的 10/01 19:10
20F：→ Rasin : 賭博上會跟均值不等扯上邊還滿有意思的 10/01 19:12
21F：→ Rasin : 還有一個有點意思 賭局水位就是調和均值 10/01 19:13
22F：→ Rasin : 無聊有興趣可以打發一下時間 10/01 19:15
23F：推 Vulpix : 雙人是，三人賭博也是嗎？ 10/01 19:53
24F：→ Rasin : 原題嗎還是水位問題 10/01 20:10
25F：→ Rasin : 原題對Pi都成立 水位調和中項會是所有可能的支付率 10/01 20:12
26F：→ Rasin : 總和 /n就是各別平均支付率 10/01 20:13
28F：→ Rasin : 調和平均=14/(1/4.25+1/7+...+1/7)=7.716 10/01 20:17
29F：→ Rasin : 支付率=0.55, 返還(投報)率=支付率-1=-0.45 10/01 20:19
30F：→ Rasin : 支付率=機率*賠率=期望值每單位資金 10/01 20:21
31F：→ Rasin : 單位資金期望值 10/01 20:21
32F：→ erre : 快點丟到arxiv插旗 10/03 14:51
33F：→ Rasin : 楊都已經證明出來了沒什麼好投的 10/03 22:06
34F：→ Rasin : 有興趣的大大可以試試證明套到五大均值不等 10/03 22:16
35F：→ Rasin : 有興趣可以拿來改寫半凱利投個小期刊 10/03 22:20